什么是费马最后定理？

Question

如题所述

Answer 1

1637年，业余数学家费马在阅读刁番都的《算术》时受启发提出一个猜想：“ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ当ｎ>2时没有正整数解。”后人称此猜想为费马大定理，亦称为“费马最后定理”。

埃皮尔·德·费马（1601-1665）是数学史上最伟大的业余数学家，他的名字频繁地与数论联系在一起，可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代，所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何（费马独立于笛卡尔发明了坐标几何），无穷小演算（牛顿和莱布尼茨使之硕果累累）和概率论（本质上是费马和帕斯卡共同创立的）的研究中得出的。费马并不是一位专业数学家，他的职业是律师兼土伦地方法院的法官。

费马登上法学职位后开始了业余数学研究。虽然他未受过正规的数学训练，但他很快对数学产生了浓厚的兴趣，可惜他未养成发表成果的习惯，事实上在其整个数学生涯中，他未发表过任何东西。另一方面，费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系。在那个由数学巨人组成的世界里，有笛沙格、笛卡尔、帕斯卡、沃利斯、雅克和贝努里，而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美。

著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣。1453年，新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城——君士坦丁堡陷落了。拜占庭的学者纷纷逃向西方，也带去了希腊学者的手稿，其中就有刁番都的《算术》。这本书一直流传到今天，但在1621年前几乎无人去读他。这一年，克罗德·巴舍按照希腊原文重新出版了这本书，并附有拉丁译文、注释和评论。这才使欧洲数学家注意到这本书，似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的。

在读《算术》时，费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记。在卷II刁番都问题8旁边的空白处，原问题是“给定一个平方数，将其写成其他两个平方数之和”，费马写道：“另一方面，不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次幂写成两个四次幂之和。一般地，对于任何一个数，其幂大于2，就不可能写成同次幂的另外两个数之和。对此命题我得到了一个真正奇妙的证明，可惜空白太小无法写下来。”

用代数术语表达，刁番都问题是想求出方程：

x2+y2=z2 的有理数解，这已经由古希腊数学家欧几里德得到：

x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2

而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程：

xn+yn=zn 不存在有理数解。

定理简介
[编辑本段]
费马大定理，也称费马最后定理，乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

x^n + y^n = z^n.

的整数解都是平凡解，即

当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)

当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

这个定理，本来又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。费马宣称他已找到一个绝妙证明。但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了2005年度邵逸夫奖的数学奖

Answer 2

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Answer 3

费马猜想〔Fermat's conjecture〕又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。」费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支。

若用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程xn + y n = z n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x4 + y 4 = z 4 ，(x , y) = 1和方程xp + yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1〔p是一个奇素数〕均无xyz≠0的整数解。

n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情，但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p < 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立。

现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则 证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xn + y n = z n ，则x > 101,800,000