0的积分是0还是常数？因为积分时可以把里面的常数项提到积分号外面。无论结果如何还是要乘以0呀？

Question

把0提出来以后，变成0乘以 对1的积分，结果还是0的，怎么会是任意常数

Answer 1

在数学里，不定积分 不是积分，定积分才是积分（在英文原版教材中没有 定积分 这个词，只有“积分”这个词表示“定积分”）。但是因为牛顿莱布尼兹公式可以知道 原函数存在的函数的积分（就是定积分）恰好是端点原函数值的差

积分 的意义是 源于曲边梯形面积和累加的，所以0的积分肯定是0

线性性（就是提取常数和分解成两个加和）是定积分的，不定积分不论你怎么积都要额外加一个任意常数项的，所以你提取一个系数虽然没错，但是任意常数项不会因为你的提取而消失。
所以0的不定积分 是 0 + 任意常数 也就是 任意常数。

个人建议你好好地理解一下积分的概念，如果你对积分的本质很清楚的话你是不会有这样的困惑的。

Answer 2

看你求的是不定积分还是定积分，
如果是定积分的话，确实是0，
如果是不定积分的话，求完原函数后要加积分常数C，按你的做法就是0乘以x(1的积分)再加上C，结果还是C。之所以要加C，是因为常数C的导数为0，所以不过你求出来的原函数是什么，再加上C后，导数仍然不变，也就是说任意一个原函数加上C还是原函数。追问

定积分我懂了。 不定积分的话，按我做法，不是应该0乘以(1的积分+C)吗？那还是0啊。C不应该放到外面吧。。

追答

这么说吧，1的导数是多少？0对吧。同理，任意常数的导数都是0。
对f(x)求不定积分就是求f(x)的原函数，而f(x)原函数的定义就是所有导数等于f(x)的函数，不管你用什么方法求出f(x)的一个原函数，比如说记为F(x),在此基础上在加上一个任意常数，显然F(x)+C的导数也是等于f(x)，所以F(x)+C也是f(x)的原函数。

追问

嗯，我懂你意思。 但我意思是，比如：对0的不定积分。 把0先提出来，变成0乘以（对1的不定积分），1的原函数是 x+C，然后得 0乘以（x+C），那么结果还是0吧？

追答

很多时候0不能随便提的，就像不能随便消一样，比如说乘法有消去律，0*1=0*2，那你能说1=2吗？所以消去律对0不成立。类似的道理，在这里提取的常数不能是0，如果是非零常数就没问题了。