高等数学，微分方程。 我想问，为什么y1-y2是该齐次方程的解，不是y=c1y1(x)+c2y2(

Question

高等数学，微分方程。
我想问，为什么y1-y2是该齐次方程的解，不是y=c1y1(x)+c2y2(x)吗？

Answer 1

y=c1y1(x)+c2y2(x)这个公式是齐次微分方程的通解形式。

现在说的是非齐次微分方程。当然就不是这样写了。

y1和y2都是y'+P（x）y=Q（x）的解

即y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）都成立

两者相减得到

（y'1-y'2）+P（x）（y1-y2）=0

即（y1-y2）'+P（x）（y1-y2）=0成立

所以y1-y2是y'+P（x）y=0的解

至于你说的，例如y1+y2

将y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）相加，得到

（y'1+y'2）+P（x）（y1+y2）=2Q（x）

即（y1+y2）'+P（x）（y1+y2）=2Q（x）

所以y1+y2是y'+P（x）y=2Q（x）的解。

和原微分方程y'+P（x）y=Q（x）没啥关系。

简介：

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。

不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

y=c1y1(x)+c2y2(x)
这个公式是齐次微分方程的通解形式。
现在说的是非齐次微分方程。当然就不是这样写了。
y1和y2都是y'+P（x）y=Q（x）的解
即y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）都成立
两者相减得到
（y'1-y'2）+P（x）（y1-y2）=0
即（y1-y2）'+P（x）（y1-y2）=0成立
所以y1-y2是y'+P（x）y=0的解
至于你说的，例如y1+y2
将y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）相加，得到
（y'1+y'2）+P（x）（y1+y2）=2Q（x）
即（y1+y2）'+P（x）（y1+y2）=2Q（x）
所以y1+y2是y'+P（x）y=2Q（x）的解
和原微分方程y'+P（x）y=Q（x）没啥关系了。本回答被提问者采纳

Answer 3

追答

图片最上面那个定理，书上也有证明

Answer 4