数列1×n，2×（n-1），3×（n-2），..........，n×1的和为多少？

Question

详细解答，谢谢。

Answer 1

先看1×（n-1），2×（n-2），3×（n-3），..........，（n-1）×1的和,
设S1=1×（n-1）+2×（n-2）+3×（n-3）+..........+（n-1）×1
=（1+2+3+...+n-1)n-[1×1+2×2+3×3+...（n-1）×（n-1）] (两项各利用公式)
=n(n-1)n/2-(n-1)n(2n-1)/6
=(n-1)n(n+1)/6
原式S=1×n+2×（n-1）+3×（n-2）+...+（n-1)×2+n×1=S1+1+2+3+...+n
=(n-1)n(n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/6

Answer 2

可合并同类项，变为1n+2n+3n+…＋nn-[1*2+2*3+3*4+…＋(n-1)*n=n*[(1+n)*n/2]+1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)++=1/2n^2(n+1)+1^2+2^2+…+(n-1)^2+(1+2+3+…＋n-1),然后由平方和公式和等差数列求和公式可求出答案。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

将原式1×n+2×（n-1）+3×（n-2）+...+n×1
化为1×(n+1-1)+2×（n+1-2）+3×（n+1-3）+...+n×(n+1-n)
合并同类项得(1+2+...+n)*(n+1)-(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
利用求和公式和平方和公式得n(n+1)^2÷2-n(n+1)(2n+1)÷6

Answer 4

可写成
n
n-1 n-1
n-2 n-2 n-2
…………
1 1 1 …… 1
每一列都是一个等差数列求和，求出后再相加
=n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2+……+2*1/2
=(n^2+(n-1)^2+……+1)/2-((n-1)+(n-2)+……+1)
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n-1)/2=n(n^2+2)/3

或者
a1=1×n=1×[(n+1)-1]

a2=2×(n-1)=2×[(n+1)-2]

...............

an=n×1=n×[(n+1)-n]

Sn=1×[(n+1)-1]+2×[(n+1)-2]+........+n×[(n+1)-n]

=(1+2+3+....+n)×(n+1)-(1^2+2^2+3^2+....+n^2)

=n(n+1)(n+1)/2-n(n+1)(2n+1)/6=n(n+1)(n+2)/6