第2个回答 2013-03-18
先考虑Xn是递增还是递减,X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn],Xn恒正,要向判断出Xn递增或递减,需要判断(√5+1)/2与Xn的大小,由此即可得到Xn的有界的证明方法。
1、Xn>0是显然的。X1=1,X2=√2,X3=√(1+√2),计算一下可知X1,X2,X3都小于(√5+1)/2。所以利用归纳法,如果Xn<(√5+1)/2,由递推公式,X(n+1)<√(1+(√5+1)/2)=(√5+1)/2。
所以,0<Xn<(√5+1)/2。Xn有界。
2、X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn]>0,所以X(n+1)>Xn,Xn递增。