八年级数学难题

Question

如图,AB=BC=CD=DA,∠D=∠A=∠ABC=∠BCD=90°,E是边AD上的动点,F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y
（1）用x的代数式表示y
（2）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在A‘处，试探索：△A’BF能否为等腰三角形，求出AE的长

Answer 1

解：
1、由题中条件可知：四边形ABCD是正方形
过点E作EO⊥BF于O，则，AE=BO
∵BE=EF
∴BO=OF
∴AE=½BF
即，y=2x
2、可以。
AE=AB=12追问

请问为什么AE=AB？

追答

当E运动到D时，AC重合，即△A'BF为等腰直角三角形。∴AE=AB

追问

可是如果AC重合，即A'在点C的位置是吗？那B，A‘，F怎么能为等腰直角三角形呢，它们应该在一条直线上了吧。能再清楚一点吗？不好意思、

追答

是的，知道已错
过B作BA'⊥EF，即A为A'的重合点
过E作EO⊥BF，则BO=OF
∵AE=A'E
∴A'E=½BF
∵∠BA'F为直角
∴要使A'BF为等腰三角形，则过A'垂直BF的垂足必与点O重合
即点A，A;，E为同一点
∴AE=0

Answer 2

解：（1）过F点作FG⊥BE交BE于G，易知⊿FBG∽⊿BAE
则有FB/BE=1/2BE/AE，FB=1/2BE^2/AE
又BE^2=AB^2+AE^2=12^2+x^2，将BE、AE的值代入上式即得
y=(12^2+x^2)/2x

(2)因为⊿FBE为等腰三角形，所以有
∠FEB=∠FBE=∠BEA，
因此当△ABE沿着直线BE翻折时，点A落在EF上，即A'在EF上
且∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°
若使△A’BF能否为等腰三角形，则∠F=∠A'BF=45°
此时有FA'=BA'=AB=12，BF=BC+CF=EF=FA'+EA'=AB+AE
即CF=AE=x，代入y
12+x=(12^2+x^2)/2x
解之，得x=12√2-12

Answer 3

（1）

第二问稍等

追问

请问第二题怎么做？十分感谢

追答

（2）不能。证明三边都不能两两相等即可(反证法，满足两边相等的不是三角形）。