先告诉你辅助线怎么画然后你自己就会证了,等一会儿再告诉你怎么会想到这么添的。
延长CA至E使EB垂直于BC,AD交BE于F,则你要证明BF=1/2BE=1/2BD。
∠AMB=75°。
如图一,延长CA至E使EB垂直于BC,AD交BE于F,显然∠AMB=∠2+∠3=∠2+45°=∠1+45°。
我们来求∠1。
由AD∥BC且EB⊥BC知AD⊥BE即AF⊥BE。
显然∠ABC=45°所以∠ABF=45°。从而△AFB是等腰直角三角形。
又因为∠BAC=90°所以∠BAE=90°。显然△AFE也为等腰直角三角形。从而F是BE中点。
由∠E=45°与EB⊥BC知△EBC也为等腰直角三角形。从而BE=BC=BD=2BF。显然∠1=30°。
再说一下思路。
做几何题可以从最基本的量(如三角形的三条边或三个角)开始然后找到题目中提及的各个量是如何由这些基本的量决定的。此题中在决定了A、B、C后开始想如何来“定”出点D。
显然,点D要满足题目中说的条件。那么如果不使用量角器,我们应该如何定出D?
这里要插一句,之所以想不使用量角器来做作图定出D是为理清各边、角之间的关系,换句话说如果我们知道了如何来定出D,那么很有可能蕴涵在题目后面的某些重要关系就很明显了。
至此,我们很容易想到如果只使用尺规作图,那么D的确定只需要以B为圆心BC为半径画圆,圆与AD的交点即D。所以我们有图二。
再画完圆后,我们看见AC显然是圆上一弦(EC)的一段,但是这一段却非常特别。为什么?因为过圆心的线段AB与它垂直。我们知道如果过圆心的半径垂直于一弦那么必然平分它。所以很自然地会想到延长CA使其与圆相交。
然后,接下去又会很自然地想搞清此圆内线段之间的关系。于是,非常容易我们就又发现由于△ABC是等腰直角三角形而A又平分了弦EC,从而∠E=45°且EB⊥BC。于是一切就很显然了。