先告诉你辅助线怎么画然后你自己就会证了，等一会儿再告诉你怎么会想到这么添的。
延长CA至E使EB垂直于BC，AD交BE于F，则你要证明BF=1/2BE=1/2BD。
∠AMB=75°。
如图一，延长CA至E使EB垂直于BC，AD交BE于F，显然∠AMB=∠2+∠3=∠2+45°=∠1+45°。
我们来求∠1。
由AD∥BC且EB⊥BC知AD⊥BE即AF⊥BE。
显然∠ABC=45°所以∠ABF=45°。从而△AFB是等腰直角三角形。
又因为∠BAC=90°所以∠BAE=90°。显然△AFE也为等腰直角三角形。从而F是BE中点。
由∠E=45°与EB⊥BC知△EBC也为等腰直角三角形。从而BE=BC=BD=2BF。显然∠1=30°。
再说一下思路。
做几何题可以从最基本的量（如三角形的三条边或三个角）开始然后找到题目中提及的各个量是如何由这些基本的量决定的。此题中在决定了A、B、C后开始想如何来“定”出点D。
显然，点D要满足题目中说的条件。那么如果不使用量角器，我们应该如何定出D？
这里要插一句，之所以想不使用量角器来做作图定出D是为理清各边、角之间的关系，换句话说如果我们知道了如何来定出D，那么很有可能蕴涵在题目后面的某些重要关系就很明显了。
至此，我们很容易想到如果只使用尺规作图，那么D的确定只需要以B为圆心BC为半径画圆，圆与AD的交点即D。所以我们有图二。
再画完圆后，我们看见AC显然是圆上一弦（EC）的一段，但是这一段却非常特别。为什么？因为过圆心的线段AB与它垂直。我们知道如果过圆心的半径垂直于一弦那么必然平分它。所以很自然地会想到延长CA使其与圆相交。
然后，接下去又会很自然地想搞清此圆内线段之间的关系。于是，非常容易我们就又发现由于△ABC是等腰直角三角形而A又平分了弦EC，从而∠E=45°且EB⊥BC。于是一切就很显然了。
如图
过A、D点作BC边上的高，交BC分别于E、F
设BC=BD=2
那么有AE=BE=CE=DF=1
那么在三角形ADF中，可以判定角DBF=30°（2DF=BD)
那么角ABM=15°
需求的角AMB=75°
不清楚或需详细解答请追问，认为正确请采纳
追问请问三角形ADF在哪？
追答呵呵，BDF，搞错了，不好意思
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