求证：边长为1的正方形内任一点P到正方形四顶点距离之和大于等于2根号2

Question

求证：边长为1的正方形内任一点P到正方形四顶点距离之和大于等于2根号2

Answer 1

放在坐标系中：A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).
设正方形内一个点M(x,y)。
MA=(x^2+y^2)^0.5,
MB=((x-1)^2+y^2)^0.5，
MC=((1-x)^2+(1-y)^2)^0.5,
MD=(x^2+(1-y)^2)^0.5;
f(x,y)=MA+MB+MC+MD
=(x^2+y^2)^0.5+((x-1)^2+y^2)^0.5+((1-x)^2+(1-y)^2)^0.5+(x^2+(1-y)^2)^0.5;
x∈(0,1),y∈(0,1).x,y相互独立。
所以在处理x的时候可以将y当成常数，然后再处理y。
对上述f(x,y)分别对x和y求导
（不知道你是几年级了，以后应该会学到这是对x,y求偏导）。
如对x 求偏导记作f1'(x)=x/(x^2+y^2)^0.5+(x-1)/((x-1)^2+y^2)^0.5+(x-1)/((1-x)^2+(1-y)^2)^0.5+
x/(x^2+(1-y)^2)^0.5，求解f1'(x)=0，得x=1/2且x∈(0,1/2)上为增函数，在(1/2,1)上式减函数。
也就是说x=1/2是函数的最小值。
对y的分析也一样，原函数x，y是堆成的，对y求导之后和上面对x求导后将x换成y的式子一样。所以(1/2,1/2)是原函数的最小值点，带入f(x,y)得到f(1/2,1/2)=2*2^0.5.即2倍根号2

Answer 2

作正方形的两条对角线都为根号2，用两边之和大于第三边的定理得，取等号就是中心时