1.已知3阶方阵A的特征值为-2-10,则|A^2+A+2E|=() A 8B -32C 16D？

Question

如题所述

Answer 1

给定:3阶方阵A的特征值为-2,-10
求:|A^2+A+2E|的值解:
1. 3阶方阵A的特征方程为:λ3 - (特征值之和)λ2 + (主对角线元素之和)λ - (行列式) = 0
2. 由于A的特征值为-2,-10,则特征方程可以化为:
λ3 - (-12)λ2 + (a+b+c)λ - |A| = 0
= λ3 + 12λ2 + (a+b+c)λ - |A| = 03. 又因为|A| = λ1*λ2*λ3,而A的特征值为-2,-10,则|A| = -2*-10 = 20
代入特征方程可以得:
λ3 + 12λ2 + (a+b+c)λ - 20 = 04. 由A^2 + A + 2E的行列式展开式得:
|A^2+A+2E| = |A|(λ1 + λ2 + 2) + |E|
= 20*(−2 + −10 + 2) + |E|
= -32 + |E|5. 因为E是单位矩阵,则|E| = 1
综上,|A^2+A+2E| = -32 + 1 = -31所以,答案为C:-32A^2+A+2E的行列式的值即为A的特征值之和乘以方阵阶数再加上单位矩阵的行列式。利用方阵A的特征值求得特征方程,从而求得A的行列式|A|,最后将所有信息代入|A^2+A+2E|的公式求值。