两角和与差的公式，，求推导过程

Question

如题所述

Answer 1

如上图所示，这是一个半径为 1 的单位圆。

AB^2=OA^2 + OB^2 - 2*OA * OB * cos(α-β) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(α-β) = 2 - 2 *cos(α-β)

根据勾股定理，

AB^2 = DE^2 + CF^2

         = (OD - OE)^2 + (OF + OC)^2

         = (OA * sinα - OB * sinβ) ^2 + (OB * cosβ - OA * cosα)^2

         = (sinα - sinβ) ^2 + (cosβ - cosα)^2

         = (sinα)^2 + (sinβ)^2 - 2*sinα*sinβ + (cosα)^2 + (cosβ)^2 - 2*cosα*cosβ

         = (sinα)^2 + (cosα)^2 + (sinβ)^2 + (cosβ)^2 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ

         = 1 + 1 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ

结合这两个公式，我们可以得到：

2 - 2 *cos(α-β) = 2 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ

∴ cos(α-β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ 

上面是两角差的余弦公式。两角和的余弦公式如下：

 cos(α+β) = cos(α - (-β))

                = cosα*cos(-β) + sinα*sin(-β)

∵ cos(-β) = cosβ, sin(-β) = - sinβ

∴ cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβ 

Answer 2

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny