常用的泰勒展开式有：二项式展开、三角形展开、多项式展开。
1. 二项式展开
二项式展开是指二项式定理的应用，即把一个多项式表示成二项式的乘积的形式。具体来说，对于一个二项式 (a+b)^n，它可以展开为 n 个项的乘积，每个项都是 a 和 b 的不同次幂的乘积，并且次幂之和为 n。例如，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
这种展开方法在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
2. 三角形展开
三角形展开法又称三角线法，是将构件表面依复杂形状分成一组或多组三角形在平面上展开。三角形展开法的原理是将零件表面分成一组或很多组三角形，然后求出各组三角形每边的实长，并把它们的形状依次画在平面上，得到展开图。
若构件表面既无平行边线又无集中于一点的斜边时，如各种过渡接头及一切表面成复杂形状的构件，均可用三角形法作出展开图。
3. 多项式展开
项式展开是指将一个多项式表达式展开成多个项的和的形式。多项式展开的原理是将两个或多个多项式相乘，分别乘以每一项，然后将结果相加，得到积的过程。
举例来说，一个简单的一元多项式展开如下：f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7这个多项式展开包含了四个项，分别是 3x^3、-2x^2、5x、-7。
泰勒展开式的定义和发展：
1. 泰勒展开式的定义
泰勒展开式指的是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
2. 泰勒展开式的发展
泰勒展开式的发展，历经18世纪到现代，不断深化和完善。从数学到物理、工程领域，泰勒展开式的应用广泛而深入。研究其收敛性、收敛速度和误差估计，推动数学理论的发展。在解决微分方程、积分方程中，泰勒展开式发挥关键作用，助力科学研究的突破。