动态规划中的0-1背包问题怎么去理解？要求给出具体实例和详细步骤。。。

Question

如题所述

Answer 1

* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，
它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式：
X
*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

下面是实际程序:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;/*初始化数组*/
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
{
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
else c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);

}
int main()
{
int m,n;int i,j;
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Input each one:\n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("\n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
if(j==14)printf("\n");
}
system("pause");
}

Answer 2

引用一个朋友的博文回答你的问题。
Description

试设计一个用回溯法搜索子集空间树的函数。该函数的参数包括结点可行性判定函数和
上界函数等必要的函数，并将此函数用于解0-1背包问题。
0-1 背包问题描述如下：给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是 wi ，其价值为 vi ，
背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2 种选择，即装入背包或不装入背包。不能
将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

Input

由文件input.txt给出输入数据。第一行有2个正整数n和c。n是物品数，c是背包的容
量。接下来的1 行中有n个正整数，表示物品的价值。第3 行中有n个正整数，表示物品的
重量。

Output

将计算出的装入背包物品的最大价值和最优装入方案输出到文件output.txt。

Sample Input

5 10
6 3 5 4 6
2 2 6 5 4

Sample Output

15
1 1 0 0 1

Source

//code c++

#include <iostream.h>
#include<iomanip.h>
#include<string.h>
int min(int w,int c)
{int temp;<br/> if (w<c) temp=w;<br/> else<br/> temp=c;<br/> return temp;<br/>}
int max(int w,int c)
{
int temp;
if (w>c) temp=w;
else
temp=c;
return temp;
}
void knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int**m) //求最优值
{
int jmax=min(w[n]-1,c);
for(int j=0;j<=jmax;j++)
m[n][j]=0;
for(int jj=w[n];jj<=c;jj++)
m[n][jj]=v[n];
for(int i=n-1;i>1;i--){
jmax=min(w[i]-1,c);
for(int j=0;j<=jmax;j++)
m[i][j]=m[i+1][j];
for(int jj=w[i];jj<=c;jj++)
m[i][jj]=max(m[i+1][jj],m[i+1][jj-w[i]]+v[i]);
}
m[1][c]=m[2][c];
if(c>=w[1])
m[1][c]=max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
cout<<m[1][c]<<endl;
}

int traceback(int **m,int w[],int c,int n,int x[]) //回代，求最优解
{
//cout<<"得到的一组最优解如下:"<<endl;
for(int i=1;i<n;i++)
if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0;
else {x[i]=1;<br/> c-=w[i];}
x[n]=(m[n][c])?1:0;
for(int y=1;y<=n;y++)
{
cout<<x[y]<<" ";
}
cout<<endl;
return x[n];

}
int main()
{
int n,c;
int **m;
cin>>n>>c;
int *v=new int[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i];
int *w=new int[n+1];
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>w[j];
int *x=new int[n+1];
m=new int*[n+1]; //动态的分配二维数组
for(int p=0;p<n+1;p++)
{
m[p]=new int[c+1];
}
knapsack(v,w,c,n,m);
traceback(m,w,c,n,x);
delete []x;
delete []w;
delete []v;
return 0;

}