因为，这些非谓语的句子，可以还原成状语从句
你的例句，还原一下，就是：
he came back home,after he spent a month with me
很明显，after he spent a month with me 是做状语的
以后，人家说，现在分词作定语，后置定语什么的，你就还原成定语从句就是了
你那个句子要是从非谓语的角度来分析的话，就是这样
主句是he came back home ,这里已经有了谓语动词came,后面仅仅以逗号相连，缺没有连词，因此，spend 这个动词要处理成非谓语，这里，spend 的逻辑主语是he ,因此用现在分词，表伴随状态。
这是语法书上常见的解释套路，我做学生的时候，也是会有你那样的困惑，神马伴随状语，后来，我明白了，原来就是状语从句的变型。
追问什么叫做还原状语从句
追答就是用来帮助你理解的。语法书上的术语，什么伴随啊，后置啊，逻辑主语啊什么的你未必理解。因此，我做学生时自己的悟出来的理解是，把他还原成壮语从句，或者定语从句。