A为三阶实对称矩阵，A^2+2A=0,r(A)=2,求A的全部特征值及行列式|A^2+3E|的值。

Question

为什么r（A）=2，可得-2为二重根？？？

Answer 1

这是因为 "可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数"
A是实对称矩阵, A(A+2E)=0, 故A的特征值只能是0, -2
由 r(A)=2 知 A 的特征值为 0,-2,-2.
所以 A^2+3E 的特征值为 (λ^2+3): 3, 7,7
所以 |A^2+3E| = 3*7*7 = 147.

Answer 2

A(A 2E)=0，则特征值只能是2或0。因为A是实对称矩阵，可用正交矩阵对角化，得到的对角矩阵，对角线元素为A的特征值。当2重数小于2时，秩小于2。|A² 3E|=|-A 3E|,-A 3E特征值为1 1 3 ，所以结果为1×1×3=3。