如图在正方形ABCD中F为AD上一点,且AF=3FD，E是CD的中心，求证BE⊥EF 初二

Question

如题所述

Answer 1

连接BF
∵ABCD是正方形
∴∠A=∠C=∠D=90°
AD=AB=BC=CD
∵AF=DF
AF+DF=AD
∴AF=3/4AD，DF=1/4AD
∵E是CD的中点
∴DE=CE=1/2CD=1/2AD
∴在Rt△ABF中：
BF²=AB²+AF²=AD²+(3/4AD)²=25/16AD²
在Rt△BCE中：
BE²=BC²+CE²=AD²+(1/2AD)²=5/4AD²=20/16AD²
在Rt△DEF中：
EF²=DF²+DE²=(1/4AD)²+(1/2AD)²=5/16AD²
∴BE²+EF²=20/16AD²+5/16AD²=25/16AD²=BF²
∴根据勾股定理逆定理：BE²+EF²=BF²
△BEF是直角三角形
∴∠BEF=90°
即BE⊥EF

Answer 2

∵AF=3DF，∴DF=1/4AD，
∵E为CD的中点，∴DE=CE=1/2CD，
∵ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°，
∴DF/DE=1/2，CE/BC=1/2，∴DF/DE=CE/BC，
∴ΔDEF∽ΔCBE，∴∠DEF=∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠DEF+∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
即EF⊥BE。