数学中考压轴题

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=
时，直线l：y=-2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=
时，直线l：y=-2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．

Answer 1

（1）直线过圆心M(4,2)，只要将圆心坐标代入直线方程即可求得y轴上截距b，由2=-2*4+b得b=10；

当直线与圆相切时，两者交点只有一个，故将直线方程代入圆的方程后所得二次方程只有一个根；
圆：(x-4)^2+(y-2)^2=2^2，直线：y=-2x+b，后者代入前者：(x-4)^2+(-2x+b-2)^2=4；
整理得：5x^2-4bx+(b-2)^2+12=0；
若此方程只有一个实根，根的判别式须等于0：(4b)^2-4*5*[(b-2)^2+12]=0，解得b=5±√5；
当b=5+√5（切于右侧上）及b=5-√5（切于左侧下）直线y=-2x+b都有与圆相切；

（2）当直线处于角点A左侧时，S=0；以A(2,0)代入直线方程可得b=4，即当b≤4，S=0；

当直线由A向右扫过矩形，至过D点前，面积S由0线性增加至2*2/2=2，将D(2,2)坐标代入直线可求得b，2=-2*2+b，b=6，即当4<b≤6时，S=0+(2-0)*(b-4)/(6-4)=b-4；

当直线由过D向右扫过矩形时，至过B点前，面积S由2线性增加至4*2-2=6，将B(6,0)坐标代入直线方程可求得b：0=-2*6+b，b=12；即当6<b≤12时，S=2+(6-2)*(b-6)/(12-6)=2b/3-2；

当直线由过B向右继续扫过矩形时，面积S由6线性增大至最大值4*2=8，将C(6,2)坐标代入直线方程可求得b：2=-2*6+b，b=14；即当12<b≤14时，S=6+(8-6)*(b-12)/(14-12)=b-6；

当直线位于C点右上方时，直线扫过矩形的面积不再变化，此时S达最大值4*2＝8，以C(6,2)坐标代入直线方程：2=-2*6+b，可求得b=14；即当b≥14，S=8；

综合可得S与b的关系如下（分段函数）：
S=0………（b≤4），
S=b-4……（4<b≤6），
S=2b/3-2…（6<b≤12）
S=b-6……（12<b≤14），
S=8………（b≥14）；

Answer 2

（1）1、将x=4，y=2 代入y=-2x+b（b≥0）可解得b=10

2、设切点为E，连结EM并双向延长得直线EM，则可知EM垂直与直线L

因为直线L的斜率为-2，故直线EM的斜率为1/2，

又经过圆点M，所以可得直线EM的方程式为 y=1/2x

因为圆心M的坐标为（4，2），故可得圆M的方程式为 （x-4）的方+（y-2）的方=4(半径的方)

联立圆的方程式、直线EM的方程式，

可解得切点有两个 （4+4√5/5，2+2√5/5）、（4-4√5/5，2-2√5/5）

代入L的方程式可得两个结果 b=10+2√5 或者 b=10-2√5

（2）由题意可知当直线L经过A点是 b=4

当直线L经过D点是 b=6

当直线L经过B点是 b=12

当直线L经过C点是 b=14

1、当0≤b≤4时 ：

S=0

2、当4<b≤6时 ：

直线L与线段AD的交点为（2，b-4），与线段AB的交点为（b/2，0）

所以S=1/2（1/2b-2）（b-4）=1/4（b-4）（b-4）

3、当6<b≤12时 ：

直线L与线段CD的交点为（1/2b-1，2），与线段AB的交点为（b/2，0）

所以S=1/2 x（（1/2b-1-2）+（b/2-2）） x 2=b-5

3、当12<b≤16时 ：

直线L与线段CD的交点为（1/2b-1，2），与线段BC的交点为（6，b-12）

所以S=4 x 2 - 1/2 x （6 - （1/2b-1））（2-（b-12））

3、当b>16时 ：

所以S=8

Answer 3

：(1)①直线l：y=﹣2x+b(b≥0)经过圆心M(4，2)时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b(b≥0)与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A(，0)、B(0，b)，∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，∴PN：MN=OB：OA=2，∴PM=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN=，PN=，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣，
∴P(4﹣，2﹣)，代入直线解析式求得：b=10﹣2；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2．
(2)由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2，2)．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b(b≥0)向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D(2，2)时，b=6；当直线经过B(6，0)时，b=12；当直线经过C(6，0)时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；
令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．
∴S=S△APQ=AP•AQ=(﹣2)(b﹣4)=b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；
令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3．
S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；
令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3，CQ=7﹣．
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣CP•CQ=b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．

Answer 4

见图

Answer 5

直线l：y=-2x+b 斜率为-2，故，
1)b=10 时，直线l：y=-2x+b（b≥0）经过圆心M；
2)当b=4×根号5--4 时，直线l：y=-2x+b（b≥0）与⊙M相切；