高中数学的四棱锥的问题

Question

在正四棱锥P-ABCD中，M,N位PA,PB的中点，且侧面与底面所成的二面角的正切值为根号二，则异面直线DM与AN所成角的余弦为多少？
要准确的过程。谢谢

Answer 1

在正四棱锥P-ABCD中，M,N位PA,PB的中点，且侧面与底面所成的二面角的正切值为根号二，则异面直线DM与AN所成角的余弦为多少？

解析：在正四棱锥P-ABCD中，设底面边长为a

∵侧面与底面所成的二面角的正切值为√2

过P作PE⊥底面于E，E为底面中心，取AD中点F，连接PF，EF

EF=a/2

∴PE=√2/2a==>PF=√3/2a==>PA=PB=PC=PD=a，即侧面为正三角形

∵M,N为PA,PB的中点

∴DM=AN=√3/2a

过M作MN1//AN交PN于N1

∴MN1=√3/4a

连接DN1

易知⊿PDB≌⊿ADB==>∠DPB=90°

∴DN1=√(PD^2+PN1^2)= √17/4a

由余弦定理cos∠N1MD=(DM^2+MN1^2-DN1^2)/(2*DM*MN1)

=(3/4a^2+3/16a^2-17/16a^2)/(2*√3/2a*√3/4a)=-1/6

∴异面直线DM与AN所成角的余弦为-1/6或1/6

追问

应该是1/6吧，而没有-1/6。

追答

二条直线的夹角有二个互补的角，一般都是指锐角为二直线夹角，本题求出的是钝角，所以其余弦值为-1/6，可直接说二直线夹角的余弦值为1/6，这里我写二个，就是看你问不问这个问题，问了就是说明你真正理解明白了

Answer 2

过p向面abcd做垂线，建空间系，把md an 用空间向量表示出来 套余弦的公式 就是个算数的问题 用几何更简单吧