(1)解:∵∠ACB=80°,
∴∠ACD=180°-80°=100°,
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线,
∴∠PBC=
∠ABC=
×50°=25°,∠PCD=
∠ACD=
×100°=50°,
在△PCD中,∠PBC+∠P=∠PCD,
即25°+∠P=50°,
解得∠P=25°;
∵∠ABC+∠ACB=110°,
∴∠A=180°-110°=70°,
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCD=
∠ACD,
根据三角形的外角性质,∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠A+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠A=2∠P,
∠P=
∠A=
×70°=35°;
(2)解:∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCD=
∠ACD,
根据三角形的外角性质,∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠BAC=2∠P,
∠P=
∠BAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠P=45°;
(3)由计算可知,∠P=
∠A;
(4)证明:∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCD=
∠ACD,
根据三角形的外角性质,∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠BAC=2∠P,
∠P=
∠BAC.
故答案为:(1)25°,35°;(2)45°;(3)∠P=
∠A.