数学思想有什么？

Question

除了化归思想，基本量思想，无关思想，部分调整思想，逆推思想，结构思想。详细地回答。

Answer 1

一，函数与方程的思想

函数描述了客观世界中相互关联的量之间的依存关系，是对问题本身的数量特征及制约关系的一种刻划。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象之间的数量关系，并用映射给予严格的形式。对函数思想的研究，离不开函数的知识和应用这个基础。从这个意义上说，函数几乎成为贯穿中学数学的一条主线。中学的函数思想，应包括建立函数模型解决问题的意识、函数概念和性质的广泛运用、函数图象的应用。与此相衔接的有方程的思想、极限的思想，以及数列、不等式等知识。

方程的内容在中学阶段也同样经历了由浅入深的历程。其中最重要的变化是从具有确定解的方程，发展到解连续变化的方程；从注重解的数值特征，转向方程的几何意义，另外还有方程与多方面因素的相互联系。方程的思想是在这样的过程中逐步培养起来的。其中当然包含了通过设立未知量建立相等关系，即把未知看作已知的意识，还有如何用方程（方程组）的知识解决问题等等。

函数思想与方程思想的联系十分密切。如解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；用函数y=f(x) 与 y=g(x)图象的“交轨”方法，可以求出或讨论方程f(x)=g(x)的根；参数方程是一种“函数组”化的方程，等等。这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。

二，数形结合的思想

数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种数学思想方法。在中学数学中，数形结合的思想从渗透到形成和运用，经历了三个主要阶段：

1． 数——形对应

它是数形结合的基础。主要通过初中、高一、高二的新授课阶段的学习逐步领悟和掌握的；

2． 数——形转化

它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的。在新授课时这类例子已相当普遍（例如解析法、图解法等），在高三一轮复习中，则要使之系统化；

3． 数——形分工

这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合，也是本节主要内容。

从内容上看，数形结合的渠道主要有：

（1） 平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；

（2） 解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；

（3） 函数与它的图象以及有关的几何变换；

（4） 三角函数的概念；复数的几何意义；

Answer 2

号思想
符号思想是导致数学脱离其实际内容走向抽象化形式系统的关键思想。当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着这种抽象的产生；而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时，就意味着符号思想的出现，无疑这是人类知识史巨大飞跃的开端，是数学得以成为理性科学的开始。符号，无论是采取何种形态（文字的、字母的、图形的还是其他任何约定记号的），其思想实质是一样的：即通过建立某种对应，实现从感性到理性的认识转换。表达形态的不同，标志着抽象程度的高度差异（应该承认，这种抽象程度差别往往会导致数学发展水平的巨大鸿沟）。中国式的由算筹发展而产生的筹算记号因具有直观性，简便性而促使中国古代数学走在世界前列，可惜也同样是这套符号在14世纪后变成了阻碍中国数学进一步发展的因素之一，它也是造成中国数学同西方数学走完全不同的发展道路的一个主要原因。
数学语言是一种抽象的符号语言，符号的发展与进步其直接的结果是抽象程度的提高，从而导致数学日益走向形式化，符号是这种形式化得以实现的基础。可以这样讲，没有符号就没有数学。数学的序化思想正是通过抽象化、形式化与符号思想建立了联系。
依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
数学中的分类思想具有二个特性：
①统一性。要进行分类首先必须将对象视为统一整体，然后施行分类；或者通过分类