高中物理的反三角函数是怎样算的及公式

Question

如题所述

Answer 1

[编辑本段]数学术语　　 反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
　　（1）正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
　　（2）余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。
　　（3）正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
　　反三角函数主要是三个：
　　y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；
　　y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用兰色线条；
　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；
　　sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
　　其他几个用类似方法可得
　　cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
　　tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx
　　反三角函数其他公式
　　arcsin(-x)=-arcsinx
　　arccos(-x)=π－arccosx
　　arctan(-x)=-arctanx
　　arccot(-x)=π－arccotx
　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
　　sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
　　当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x
　　当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x
　　x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
　　x∈(0，π),arccot(cotx)=x
　　x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
　　若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

Answer 2

1. 求下列反三角函数的函数值：
(1)arcsin(- )； (2)arcsin0.9205； (3)arcsin(- )；
(4)arccos0.9511； (5)arctan0.7265； (6)arctan3.0777．
2. 根据下列条件求角a：(若有小数，保留四个有效数字)
(1)sina= -0.3256，0°�0�5a�0�5360°； (2)sina=0.7880，a�0�2[0,2p]；
(3)cosa=0.8829，0°�0�5a�0�5360°； (4)cosa=-0.7314，a�0�2[0,2p]；
(5)tana=3.732，90°<a<90°； (6)tana= ，a�0�2(- , )．
3. 在⊿ABC中，已知�0�4C=41°，b=36,c=28．求�0�4A, �0�4B 及a(保留四个有效
数字)．
4. 在⊿ABC中，已知�0�4B=45°，b=30,c=25．求�0�4A, �0�4C及a(保留四个有效
数字)．
5. 已知⊿ABC中，a=17,b=21,c=27，求�0�4A, �0�4B, �0�4C(保留四个有效数字)．

B组
1. 根据下列条件求角a(若有小数，保留四个有效数字)：
(1)sina=- ，a�0�2[ ,2p]； (2)sina= ，a�0�2[2p,4p]；
(3)sina=-0.7314，-360°�0�5a�0�50°； (4)cosa=0.9703，90°�0�5a�0�5360°；
(5)tana=- ， <a<
2. 在⊿ABC中，已知�0�4C=50°，a=16,b=18．求�0�4A,�0�4B及c(保留四个有效
数字)．
3. 在⊿ABC中，已知�0�4B=27°，a=25,b=30．求�0�4A,�0�4C及c(保留四个有效
数字)．

C组
1. 已知x满足下列条件，求x：
(1)3sinx-4=0； (2)2cos2x-1=0； (3)2sin2x-5sinx-3=0；
2. 已知⊿ABC中，�0�4A=45°，c=10 ，在a分别为20, 10, 时，求
相应的�0�4C．

本章小结
1. 反函数一般概念
定义 y=f(x),x�0�2D,y�0�2M. 若"y�0�2M, 存在唯一x�0�2D，使f(x)=y，则称函数y=f(x)存在反函数
表示 y=f(x)的直接反函数记作x=f-1(y)；对调x,y后所成的常规反函数为y=f-1(x)
关系 原来函数y=f(x)，定义域x�0�2D，值域y�0�2M； 直接反函数x=f-1(y)的定义域y�0�2M，值域x�0�2D； 常规反函数y=f-1(x)的定义域x�0�2M，值域y�0�2D； x=f-1(y)的图象与y=f(x)的图象重合, 对应方向相反； y=f-1(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称．
存在条件 (1)函数y=f(x),x�0�2D,y�0�2M存在反函数�0�4 f：D�0�3M为1,1映射，即x�0�2D, y�0�2M按法则f是1,1对应的． (2)函数y=f(x),x�0�2D,y�0�2M存在反函数�0�4 y=f(x)的图象与任何平行于x轴的直线的交点不多于一个． (3)若y=f(x)在x�0�2D时是单调的，则反函数存在．
求法 若y=f(x),x�0�2D反函数存在，且以解析法表示，则求出值域M，从y=f(x)解x为y的式子，并对调x,y，即得以M为定义域的反函数．

2. 对数函数和对数
项目 内 容
对数函数 定义 指数函数y=ax(a>0,a�0�11, x�0�2R, y�0�2(0,+�0�6)的反函数，称为以a为底的对数函数，记作y=logax, x�0�2(0,+�0�6)
对数函数 特例 常用对数函数lgx=log10x； 自然对数函数lnx=logex (e为无理常数,e�0�32.71828)．
图象
性质 (1)定义域{x|x�0�2R,x>0}，值域R． (2)任意a (a>0,a�0�11)，y=logax的图象经过点(1,0) ． (3)当a>1, y=logax单调增加，且 ①在0<x<1, y<0，当x无限接近于0，图象向下无限 延伸靠近y轴； ②在x>1,y>0； 当0<a<1, y=logax单调减小，且 ①在0<x<1, y>0，当x无限接近于0，图象向上无限 延伸靠近y轴； ②在x>1,y<0． (4)当x>1，底数增大，对数减小；当0<x<1，底数增大，对数也增大．
对数 概念 称对数函数的函数值为对数
基本等式 , (x>0) ，log aa x=x, (x�0�2R)． 由此可得基本结果： logaa=1, (a>0, a�0�11) , loga1=0, (a>0, a�0�11)．
运算性质 任意a>0且a�0�11, M,N>0, b�0�2R，有 logaM+logaN=loga(M×N) logaM-logaN=loga(M�0�0N) b×logaM=logaMb
换底公式 任意a, b, c>0且a�0�11, c�0�11, logab= �0�7 任意a, b>0且a�0�11, b�0�11, logab=
计算 lgb,lnb：使用计算器求值； logab：换底为常用对数或自然对数的商，再使用计算器

3. 反三角函数
(1)定义和图象
名称 定 义 定义域 值 域 图 象
反正弦函数 y=arcsinx(或y=sin-1x)(y=sinx, x�0�2[- , ]的反函数) [-1,1] [- , ]
反余弦函数 y=arccosx(或y=cos-1x)(y=cosx, x�0�2[0,p]的反函数) [-1,1] [0,p]
反正切函数 y=arctanx(或y=tan-1x)(y=tanx, x�0�2(- , )的反函数) (-�0�6,+�0�6) (- , )
(2)已知三角函数值sinx=a(或cosx=a,或tanx=a)，求指定范围[a,b]内的角
①指定范围在反三角函数的值域内(即[a,b]是反三角函数值域的子集)，可
用计算器直接求得；
②指定范围超出反三角函数的值域，则求出三角函数图象与直线y=a交
点的横坐标在[a,b]上的集合，即可确定解集．
(3)解斜三角形问题—已知两边一对角情况应用正弦定理求出另一对角(可能
有二解) �0�7 求出第三个内角 �0�7 应用正弦定理(或余弦定理)求出第三边．本回答被网友采纳