主要区别是伤害的程度不同。
具体的区别如下：
1、destroy[dɪˈstrɔɪ]：毁灭，消灭，指通过某种有力的或粗暴的手段使之毁灭或无用，一般不能或很难修复，有时可用于比喻意义。
如： The earthquake destroyed the whole city．地震毁了整座城市。
All his hopes were destroyed by her letter of refusal. 他所有的希望都被她的拒绝信毁了。
2、damage[ˈdæmɪdʒ]：伤害，损害，主要指对价值和功能的破坏，多用于无生命的东西，一般还可修复。damage或destroy所表示的破坏，是指对房屋或车辆等的损坏。有时该词也用于借喻。
如： Her heart was slightly damaged as a result Of the disease．由于生病，她的心脏轻微受损。
They managed to repair the houses that had been damaged．他们设法修复了受到破坏的房屋。
What they said and did damaged the relations between the two countries.他们的言行损害了这两个国家之间的关系. 。
3、hurt [hɜ:t]：指精神上,感情上或肉体上的“创伤，伤害”。作不及物动词意思是“疼”。其过去分词不能作定语。
如：His words hurt me／my feelings．他的话伤了我／我的感情。
He fell and hurt his leg. 他掉下来伤了腿。
My shoes are so tight that my feet hurt． 鞋太紧，我的脚疼。
4、injury [ˈɪndʒəri]：指意外伤害或事故造成的伤害，有危及功能发展之意。作名词可指平时的大小创伤或伤害。
如：Several children were injured in the accident. 好几个孩子在那次事故中受伤。
He got serious injuries to the legs at work. 他干活时腿受了重伤.
注意：the injured指因事故造成的“受伤者”。
参考资料
百度翻译：http://fanyi.baidu.com/?aldtype=85#en/zh/destroy
百度文库：https://wenku.baidu.com/view/8afeeefaf705cc1755270931.html