用Mathematica演示圆的各种摆线——内摆线

Question

如题所述

Answer 1

当一个圆在另一个圆上均匀的滚动，前者上面的某个点的轨迹，是一个非常精美的图形；这是天体运动的一种简化模型，假设所有的天体的运行轨道都是圆形。
即使是简化模型，当要处理若干天体的运动轨迹也是很复杂的。
比如，月球——地球——太阳——银河系中心，这是一个四级绕转系统，假设日地月的绕转轨道都是圆形，那么，以银河系中心为原点，月球的运动轨迹是个什么图形呢？是不是很复杂？
这里不考虑复杂的问题，只研究一个圆在另一个圆内部滚动的情形，工具是Mathematica。

摆线
首先，我们把直线当成是半径很大的圆，大到无法想像的程度。这样，圆在直线上滚动，就相当于圆在另一个圆内滚动。我们把圆上的某个定点指定为“被追踪点”，当这个点在平面内移动的时候，会产生一条轨迹曲线。 圆在直线上滚动，“被追踪点”的轨迹称为“摆线”。它的参数方程是：{x=t - sint,y= 1 - cost}。

动画模拟： 把“被追踪点”定为蓝色、大小为0.1，它的轨迹为红色、粗细度0.02。 代码如图： 注意各项参数的设置，尤其是动画控制参数。（下面的图片被后期处理的时候压扁了，所以看着圆形是个椭圆形。）

还可以用把颜色设置为彩色，如图：

内摆线
圆A在另一个圆B的内部滚动，“被追踪点”在圆A上，其轨迹就是“内摆线”。 内摆线的参数方程是｛x=(R-r)cos(t/R)+Rcos((R-r)t/(Rr))，y=(R-r)sin(t/R)-rsin((R-r)t/(Rr))｝; 小圆圆心在时间t的位置是((R - r) cos (t/R),(R - r) sin (t/R))； 被追踪点在时间t的位置是((R - r) cos (t/R) + Rcos ((R - r)/Rr t),(R - r) sin (t/R) + Rsin ((R - r)/Rr t))。

绘制圆A绕圆B的模拟滚动： 圆A是绿色的，圆B是红色，线的粗细度是0.01；“被追踪点”是蓝色，大小为0.2；暂时忽略“被追踪点”的轨迹和两圆圆心。 代码如图，代码里的R和r请手动调整；然后是导出的动态图及其代码。

下面把“被追踪点”的轨迹——“内摆线”加上去，代码如图： 当R=2，r=1时，描绘出的“内摆线”是一条线段； 当R=3，r=1时，描绘出的“内摆线”是“三尖内摆线”； 其余的，就不再一一赘述，读者只需要调整R和r的值，然后分别运行即可。

把“内摆线”变成彩色，用到的函数命令仍旧是。 把R设为3，r=1，然后运行下面的代码：

内摆线的拓广
圆A在圆B上滚动，但是“被追踪点”不在圆A上，而是在圆A的内部或者外部。我们约定，“被追踪点”到圆A圆心的距离是d，那么，d0 d≠1。

一些预处理和自定义函数：(*虽然参数t没有专门定义过，但Mathematica在运行的时候，已经给t赋值了，所以必须清理*);(*小圆圆心在时间t的位置*);(*被追踪点在时间t的位置*); 先运行这些预处理和自定义，再运行图中的代码。代码先把R赋值为3，再通过改变r和d的值，画出不同的曲线。

截取几幅图看看。