为什么说函数在某点处的导数值就是该点的斜率？

Question

如题所述

Answer 1

导数的定义是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。这个关系可以通过导数的几何解释来理解。
考虑一个函数f(x)，在该函数上取某一点P(x, f(x))，我们想要求出该点上的切线斜率。我们可以通过取P点附近的另外一点Q(x + Δx, f(x + Δx))，并计算P点和Q点之间的斜率来近似切线的斜率。
斜率的计算公式为：
斜率 = Δy / Δx = (f(x + Δx) - f(x)) / (x + Δx - x) = (f(x + Δx) - f(x)) / Δx
在这个过程中，我们将Q点无限接近于P点，也就是取极限当Δx趋近于0时。这样，我们就得到了极限定义的导数：
f'(x) = lim(Δx→0) [(f(x + Δx) - f(x)) / Δx]
这个极限表示函数f(x)在点x处的变化率，即导数。所以，导数值就等于切线的斜率。
总结来说，导数值等于切线的斜率是因为导数的定义是函数的变化率，使用极限来表示，其中极限定义包含了用斜率近似表示切线斜率的思想。