积分的定义通俗理解

Question

如题所述

Answer 1

积分的定义通俗理解是积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

积分的定义是由分割、取值求近似值、求和、求极限四个步骤组成，这里分割的任意性，取值的任意性更是让积分概念显得复杂，近似值的形式不同也有不同的形式，而求极限和普通的函数、数列极限又完全不同，因为其极限的自变量是分割后的最大的小区间的长度，这个长度其实很难和最终的和式有明显的关系。

只有等分之后把区间长度用关于n的式子表示出来才把变量为区间长度的和式极限变成变量为自然数的和式极限，这样就可以使用数列极限进行计算了。

更多介绍如下：

从整个定义当中，求和和和式极限并不难理解，但是等分这种特殊分法是建立在可积分的前提下，才能不考虑分割和取值，其最终的和式极限都相等。

而可积函数类的证明几乎所有的高等数学的教程中都没有说，一般情况下直接给出连续函数在闭区间可积、有界函数在有限个间断点的闭区间可积的结论，这里证明比较复杂也不多说了。

不定积分，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。