其实第二种说法没什么语法错误，只是我们一般不那么说。
be doing不止表示
现在进行时，还表示打算做什么事。比如：we are throwing a party.这句话可以代表“我们正在party”，还可以表示”我们打算办一个party“。再比如：I am going shopping. 这句话怎么也不能理解成“我正在去购物”，正确翻译是“我正准备去购物”。
你这句话也是be doing结构，be going hiking，准备去登山。
而第二句going to do 也表示打算干什么，这是相对比第一句，这样说句子长，说起来费时间费口水，所以很多人直接用be doing表示将来。
怎么区分，看实际情况理解，一般很好区分。
追问补习老师说they are going to go shopping.在这句话中 going to 和go没有重复，所以不能they are going shopping。可是，英语书we are going hiking tomorrow。那they are going shopping这句是正确的？
追答我认为两种都对，be going shopping可以。如果你要参加考试，就听老师的吧。对于考试，老师总是对的。我推测，go shopping这个词组本身就代表去购物，老师才认为不重复吧。不过，shop本身也代表动词购物，be doing可以用。
如果是日常生活中用，没问题。