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Question

学校举办中国象棋比赛，有十名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多20分；（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五的同学得分是多少？

Answer 1

十名同学参加 单循环 比赛，
比赛局数共计：10×（10-1）÷2=45（局）
比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，
即无论每局比赛结果如何，每局参数双方得分之和为2，
从而十位同学的总得分为：45×2=90（分）
（1）比赛第一名与第二名都是一局没有输过；
说明第一名与第二名之间的比赛是平局；
因此第一名最多胜8局平1局得17分，
又已知10名同学的得分各不相同，
因此第二名最多得16分；
（2）前两名的得分总和比第三名多20分；
为描述方便，下面我们记第i名的得分为Pi，
比如：第一名得分P1，第二名得分P2，
由上面的推导有：P1≤17；P2≤16；
从而第三名得分P3＝P1＋P2－20≤17＋16－20＝13；
即：P3≤13；
（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等；
由已知10名同学的得分各不相同，且P3≤13；
则第四名得分：P4≤12；

不妨设：P4＝12，则：必须 P1＝17、P2＝16、P3＝13，
且：最后四名的得分和 P7＋P8＋P9＋P10＝12，
从而：
P5＋P6
＝90－（P1＋P2＋P3＋P4＋P7＋P8＋P9＋P10）
＝90－70
＝20
因 P5＞P6，故必有：P5＝11，P6＝9，

如果 P4＜12，即：P4≤11，则 P7＋P8＋P9＋P10≤11，
结合上面的推导结果：P1≤17；P2≤16；P3≤13；
导致：P1＋P2＋P3＋P4＋P7＋P8＋P9＋P10≤17＋16＋13＋11＋11＝68，
即：
P5＋P6
＝90－（P1＋P2＋P3＋P4＋P7＋P8＋P9＋P10）
≥90－68＝22
因 P5＞P6，故必有：P5≥12，
这与 P4≤11 相矛盾，因此 P4＜12 不成立！

综上，本题前六名同学得分有唯一解：17、16、13、12、11、9，
排名第五的同学得分是 11 分。

（你还可以再想想，后四名同学的得分有哪些可能。
6、3、2、1；
5、4、2、1；
8、3、1、0；
7、4、1、0；
6、5、1、0；
7、3、2、0；
6、4、2、0；
5、4、3、0。
）

Answer 2

学校举办中国象棋比赛，有十名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：
（1）比赛第一名与第二名都是一局没有输过；
（2）前两名的得分总和比第三名多20分；
（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五的同学得分是多少？
解，得：
首先，由比赛规则“每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分”，可知每场比赛产生的分值是2分。其次，由条件“有10
名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局”，可知共进行了
场比赛。因此产生的分值共90分。
假设第一名赢了全部9场比赛，则他得18分。根据条件“（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过”，可以得出第一名一定和棋过。要是第一名全部赢了，那么第二名一定输过棋。由上分析可得：第一名最多17分，第二名最多16分。

第一种情况：不妨设第一名得17分，第二名得16分，则前两名的得分总和是33分。由条件“（2）前两名的得分总和比第三名多20分”，则第三名分数为33-20=13分。
①若设第四名为12分，则第7、8、9、10名的分数和为12分。第五名为11分，第六名分数为9分。全部满足条件。
②若设第四名为11分，则第7、8、9、10名的分数和为11分。此时第五与六名的分数和为：90-33-13-11-11=22分。必定有人分数高于11分，矛盾。
③若设第四名得分低于11分，则同样可推出矛盾。
第二种情况：不妨设第一名和第二名总分为32分（第一名得17分，第二名得15分），则第三名为32-20=12分。第四名最多为11分。那么第7、8、9、10名的分数和为11分。第五名和第六名分数和为24分。结果推导出矛盾来。其它情况都会推导出矛盾。
因此，第五名的成绩是11分。