怎样证明对勾函数是双曲线旋转得来的？

Question

如题所述

Answer 1

双曲线的标准形式为px²-qy²=1,其中p,q是正的常数.其他类型的双曲线都可以通过标准双曲线旋转平移得到.
曲线px²-qy²=1上的点M(x,y)逆时针旋转θ角度之後变为M'(x',y'),则M可看成是由M'顺时针旋转θ角度得到.利用旋转矩阵,
x=x'cosθ+y'sinθ
y=-x'sinθ+y'cosθ
代入标准方程中,得p(x'cosθ+y'sinθ)²-q(-x'sinθ+y'cosθ)²=1
整理之後得(pcos²θ-qsin²θ)x'²+2(p+q)sinθcosθx'y'+(psin²θ-qcos²θ)y'²=1
习惯上用x和y来表示自变量和因变量,所以就得到

(pcos²θ-qsin²θ)x²+2(p+q)sinθcosθxy+(psin²θ-qcos²θ)y²-1=0,这也就是标准双曲线逆时针旋转θ角度後,所得到的新的双曲线方程.
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对勾函数y=ax+b/x(x≠0,b≠0),整理之後得到ax²-xy+b=0,或(-a/b)x²+(1/b)xy-1=0,符合旋转後的双曲线方程通式.对比一下看到要使(pcos²θ-qsin²θ)x²+2(p+q)sinθcosθxy+(psin²θ-qcos²θ)y²-1=0能够表示一个对勾函数,只需要y²的系数为0,即
psin²θ-qcos²θ=0,解得θ=±arctan√(q/p),也就是说将标准双曲线px²-qy²=1逆时针旋转±arctan√(q/p)之後,就能得到一个对勾函数.

Answer 2

证明程根据均值等式：非负实数a,ba+b≥2√（a×b）≥0
即（a+b)/2≥√（a×b）≥0积定 且仅a=b取值
号函数形y=ax+b/x（a、b等于0）函数特点：
1 号函数双曲线旋转所渐近线、焦点、顶点等等
2.号函数永远奇函数关于原点呈称
3.号函数两条渐进线永远y轴y=ax
4.a、b>0图象布第、三象限两条渐近线锐角间部由于其称性讨论第象限情形利用重要等式知值2根号abx=根号b/a候取所（0根号b/a）单调递减（根号b/a穷）单调递增
5.a>0,b<0图象布四象限、两条渐近线钝角间部且两条支都单调递增极值
6.a、b其情况由4、5变换
总作号函数图象非容易记住双曲线作渐近线再找特殊点整图象作