积分方法有哪些

Question

如题所述

Answer 1

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法等；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换。

扩展资料：积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

Answer 2

凑微分法在考研里面也叫第一类换元法，但是叫凑微分其实更能说明本质特征，因为它不是真正意义上的换元。

常见的公式表之类的，我就不贴了，这里仅仅提供一些凑微分法解题过程中总结的常用公式（课本没有），这样做题时碰见了，可以立马写出来，节省时间（如果对三角函数凑微分推不出来的，我可以附带推导过程）

掌握了上面的凑微分公示表，那么基本的题目都可以处理。下面说一些稍微复杂的，如下面这道题：

简单的题目，你可以试探性的凑微分，这种复杂的，你拿到题，瞬间感觉无从下手。

这里给大家介绍一个常用的做题技巧：对被积函数中的复杂项进行试探性的求导！

为什么这样做呢？

因为你对复杂项求导后，一般会发现被积函数表达式中含有求导后的项，这样就可以进行约分。

比如对于这个题，复杂部分就是分母了，尤其是分母中的第二项，我们尝试着对这个主要矛盾进行求导：

现在的问题是：求导后得到的，只是原式的一部分，并不是全部！因此，这时候就需要凑了，即上下同时乘以（除以）相同的因式，用恒等变形的办法以达到凑微分的目的。

所以，本题的完整操作步骤如下：

总结一下学好凑微分的技巧：

1 背熟常见的凑微分公示表，灵活运用；

2 对被积函数中的复杂项（主要矛盾）进行试探性的求导！如果求导后不是被积函数表达式中某些量的倍数，可以考虑分子分母同时乘以（除以）相同的因式，用恒等变形来达到凑微分的目的。

（二）换元法（考研考试的主体）
换元法的引出，是在凑微分法（第一类换元法）失效时出现的，数学上当一个积分很复杂，又无法用凑微分的形式做出来时，就需要考虑采用换元法了，即换自变量。

换元法的解题套路主要有3个：

1 三角代换

2 倒代换

3 复杂项的整体直接代换

下面详细解释下这三个：

1--三角代换：一般被积函数有根号的，出现平方和或者平方差时，采用三角代换。这一点估计大多数学生都有这种感觉，都能掌握，在此不做啰嗦。

三角代换书上给了好多常见的处理思路，如图：

倒代换：一般出现分式，且分子分母次数不一致，分子次数低、分母次数高时，考虑使用倒代换。

关于这个倒代换，很多在这块没有达成一致，因为大部分人对这个“倒”的理解是用1/t代替x,也有人对这个“倒”的理解是用新的变量求出不定积分后，再将新变量还原成原来的变量，即“倒回去了”，这是一种广义的理解。因为换元法的三个解题套路的最后一步都是要还原回去呀！

这里为表述方便，作者自创性的提出新的名词：正代换和倒代换。