1/(1+x^2)^2的不定积分

Question

1/(1+x^2)^2的不定积分不用换元法，老师说用另一种方法。好像是分部积分

Answer 1

∫ dx/(1 + x²)² dx= (1/2)arctan(x) + x/[2(1 + x²)] + C。C为常数。

解答过程如下：

令x = tanθ,dx = sec²θdθ

∫ dx/(1 + x²)² = ∫ 1/(1 + tan²θ)² · sec²θdθ

= ∫ 1/sec⁴θ · sec²θdθ

= ∫ cos²θdθ

= (1/2)∫ (1 + cos2θ)dθ

= (1/2)(θ + 1/2 · sin2θ) + C

= θ/2 + (1/2)sinθcosθ + C

= (1/2)arctan(x) + (1/2)(x/√(1 + x²))(1/√(1 + x²)) + C

= (1/2)arctan(x) + x/[2(1 + x²)] + C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 2

可以使用公式法

简单快捷，详情如图所示

有任何疑惑 欢迎追问

Answer 3

用分步积分算1/(1+x^2)的积分(不要直接写成arctanx)，可以做出上面的1/(1+x^2)^2的积分.移项就出来答案了。

Answer 4

追问

请问第一步是怎么化的？

追答

查积分表，有递推公式。递推公式是用分部积分法得出来的。

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Answer 5

= ∫ d(x^2) / 2 / (1+ x^2)^1/2
= (1+ x^2)^1/2 + C