什么样的图最小生成树唯一？

Question

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Answer 1

如果一个图的各个边的权值各不相同，那么它的最小生成树是唯一的。

n个点用n-1条边连接，形成的图形只可能是树。可以这样理解：树的每一个结点都有一个唯一的父亲，也就是至少有n条边，但是根节点要除外，所以就是n-1条边。

那么，对于一张n个点带权图，它的生成树就是用其中的n-1条边来连接这n个点，那么最小生成树就是n-1条边的边权之和最小的一种方案，简单的理解，就是用让这张图只剩下n-1条边，同时这n-1条边的边权总和最小。红边即为此图的最小生成树。

树形图的概念

无圈且连通的无向图称为树。树一般记为T。作为树定义还可以有以下几种表述：

（1）T 连通且无圈或回路。

（2）T无圈且有n－1条边（如果有n个结点）。

（3）T连通有n－1条边。

（4）T无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰得一个圈。

（5）T连通，但去掉T的任意一条边，T就不连通了。（亦即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图。）

（6）T的任意两个结点之间恰有一条初等链。

Answer 2

所有权值都不相等，或者有相等的边但是在构造生成树的过程中权值相等的边都被纳入到了生成树中，其最小生成树唯一。——天勤本回答被网友采纳

Answer 3

先正常求出最小生成树，再求次小生成树（具体可以枚举图上其他边加到树里，同时删去重复的边，找到权值和最小的删边方法），如果求出次小生成树的权值和与最小生成树不相等，则最小生成树唯一，否则不唯一。

Answer 4

在一个带权无向连通图G中，对G的某棵最小生成树T，对于不在T中的每一条边e，e的权值总是T与e合并所产生的环上各条边权中的唯一最大值 <==> 此图中最小生成树唯一

这是充分必要条件了。
无等权边是充分不必要条件。

Answer 5

当带权连通图的任意一个环中所包含的权值均不相同，其MST是唯一的。---出自王道