(三)关于区域化变量的平稳假设

Question

如题所述

Answer 1

从公式γ(x,h)= 中不难看出,估计[EZ(x)-Z(x+h)]²需要有若干对Z(x)和Z(x+h)的值,但在研究自然界的客观事物中,不可能在空间的同一点上重复得到两个样品。因此,上述公式只是一个理想的理论公式,在实际应用中无法实现,因为它不符合事物的客观实际。但是变差函数毕竟深刻地刻画了区域化变量的(随机性)和空间(结构性)两重性质。为了正确运用它就必须克服这个实际困难而赋予一定应用条件的办法是解决这个困难的选择。给出在什么情况下,应用是正确的,会取得好的效果,什么情况下应用是不适宜的(不能取得正确结果)。于是提出了平稳(stationary)假设,是英文“stationary”一词处于固定不变状态的意思。这就是说在某种平稳状态存在的条件下,[Z(x)-Z(x+h)]²是可求的,便能够克服在空间同一点上不能重复取得两个样品带来的困难和缺憾。从而使估计变差函数值得以实现。

在实际的地质现象中,根据统计推断的需要,在线性地质统计学中,最普遍使用的假设有二阶平稳假设、本征假设和准平稳假设。在这两种假设下,在确定的领域内,有效数据可以满足统计推断的需要。

1.二阶平稳假设(又称弱平稳假设)

所谓二阶是借用线性代数行列式概念,含有两行两列的行列式称二阶行列式(n=2),有两个未知量。一般地说,当区域化变量Z(x)满足下列两个条件时,便称其为二阶平稳假设。

1)在整个研究区(如矿化带内或矿体内)内,Z(x)的数字期望存在且等于常数:E[Z(x)]=m(常数)。

2)在整个研究区(如矿化带内或矿体内)内,Z(x)的空间协方差的函数存在且平稳(即只依赖于基本步长h,而与x无关)。即

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

当h=0时,就有Var[Z(x)]=C₍₀₎(说明方差存在且等于常数)。

2.本征假设(intrinsic assumption)

当区域化变量Z(x)的增量[Z(x-)Z(x+h)]满足:

1)在整体研究区域内有:

E[Z(x)-Z(x+h)]=0

2)其增量[Z(x)-Z(x+h)]的方差函数存在且平稳(不依赖于x)。

2γ(x)=Var[Z(x-)Z(x+h)]=E[Z(x)-Z(x+h)]-2{E[Z(x)-Z(x+h)]}²=E[Z(x)-Z(x+h)]²,显然γ(h)= 这时,则称Z(x)满足本征假设,或者说Z(x)是本征的。

从上式可以看出,在以向量 相隔的两点x和x+h处区域化变量的两值Z(x),Z(x+h)的变异程度,是以它的增量平方的数学期望来表示的。这就告诉我们在研究区内的某一区域化变量时,需要考虑区域化变量Z(x)是否满足本征假设和弱平稳假设条件,如果不考虑其平稳条件,便不会得到最佳的结果。

一般说来,二阶平稳假设(弱平稳假设)是研究区域化变量Z(x)本身的特征,而本征假设是研究区域化变量增量[Z(x)-Z(x+h)]的特征。由此可知某个区域化变量Z(x)可满足二阶平稳,则一定可满足本征假设平稳,反之则不一定(这里不证明,读者可根据需要查阅相关专业书)。

自然界中的区域化变量Z(x)往往是复杂的。而又要考虑到某现象的相似尺度,和在相似尺度范围内得到的有效数据(信息)有多少。如果不能很好地满足二阶平稳假设,如本征平稳假设条件。这时就要依据实际的需要和可能作个变通。于是又有了准平稳假设和准内蕴平稳假设的提出,准平稳假设和准内蕴平稳假设实际上是指在相对小的空间范围内存在的平稳条件。

3.准二阶平稳(quasi-stationary)假设及准本征假设

如果随机函数只在有限大小的邻域(例如以a为半径的范围)内是平稳的(或内蕴的),则称该随机函数服从准二阶平稳(或准本征)假设,它是通过缩小范围而得到平稳性,它既考虑到某现象相似性尺度(scale),也顾及有效数据的多少。我们知道,结构函数(协方差或变差函数)只能用于一个限定的距离|h|b时,区域化变量Z(x)和Z(x+h)就不能认为同属一个均匀带,这时,结构函数C(h)或γ(h)只是局部平稳的,所以,我们把只限于|h|<b范围内的二阶平稳称为准平稳,把只限于|h|<b范围内的内蕴称为准内蕴。上述的这种概念在本书后面讨论的克里格估计中十分重要,因为,我们可以用这种办法来确定适当的移动邻域大小,在该邻域内,随机函数的数学期望和协方差(或变差函数)是平衡的,而且在该邻域内的有效数据可满足统计推断。