n乘以n+1除以2等于4044,n等于多少？

Question

如题所述

Answer 1

题目给出的等式为：
$$
\frac{n(n+1)}{2}=4044
$$
将等式右侧的 $4044$ 进行因数分解，得到：
$$
4044=2^2\times3\times337
$$
因此，$n(n+1)$ 必须等于 $2^3\times3^2\times337$。由于 $n$ 和 $n+1$ 两个数为相邻的两个自然数，因此它们中必然有一个是偶数，另一个是奇数。因此，$n$ 和 $n+1$ 中必有一个数是 $2$ 的倍数，另一个数是 $2$ 的倍数加 $1$。因此，$n(n+1)$ 中必然包含一个 $2$ 和一个 $2$ 的倍数，因此 $n(n+1)$ 必须能够被 $2^3=8$ 整除。
而 $3^2=9$ 是另一个因数，因此 $n(n+1)$ 必须能够被 $9$ 整除。
根据上述条件，我们可以列出以下方程：
$$
\begin{cases}
n(n+1)=2^3\times3^2\times337\\
n\equiv 0\pmod{2}\text{ 或 }n\equiv -1\pmod{2}\\
n\equiv 0\pmod{3}\text{ 或 }n\equiv -1\pmod{3}
\end{cases}
$$
其中 $n\equiv -1\pmod{2}$ 与 $n\equiv -1\pmod{3}$ 可以合并为 $n\equiv -1\pmod{6}$。因此，我们需要找到一个同时满足以上三个条件的自然数 $n$。
根据第一个条件，$n$ 和 $n+1$ 两个数中必须有一个是 $2^3=8$ 的因数，因此 $n$ 可以是 $8$ 的倍数或 $8$ 的倍数减 $1$。从而可以列出备选的 $n$ 值：
$$
\begin{aligned}
&n=8\times 1=8,&n+1=9,\\
&n=8\times 2-1=15,&n+1=16,\\
&n=8\times 3=24,&n+1=25,\\
&n=8\times 4-1=31,&n+1=32,\\
&n=8\times 5=40,&n+1=41,\\
&n=8\times 6-1=47,&n+1=48,\\
&n=8\times 7=56,&n+1=57,\\
&n=8\times 8-1=63,&n+1=64.
\end{aligned}
$$
对于每个备选的 $n$ 值，我们可以检验是否同时满足 $n(n+1)=2^3\times3^2\times337$ 和 $n\equiv -1\pmod{6}$。经过尝试，我们发现只有 $n=71$ 满足这两个条件，因此：
$$
n=71
$$