第1个回答 2008-10-15
函数值域的求法
一,配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
二,换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数,指数函数,对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1].
[6, 11];
[2, 11];
[2, 6];
[3, 6].
3
4
[ , +∞)
(2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域.
[-3, 5].
[0, + 2 ]
3
2
[- 2 , 2]
三,方程法
四,分离常数法
利用已知函数的值域求给定函数的值域.
例3 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= ;
sinx+2
(3)y=3+ 2+x + 2-x ;
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函数化成 y=a+ 的形式.
b
g(x)
例4 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= .
sinx+2
(0, 1)
3
2
[- , - ]
1
4
(0, 1)
3
2
[- , - ]
1
4
(4)若f(x)的值域为[ , ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域.
4
9
3
8
7
8
7
9
[ , ]
[5, 3+2 2 ]
五,判别式法
例5 求函数 y = 的值域.
x2+x+1
x2-x
主要适用于形如 y = (a, d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).
ax2+bx+c
dx2+ex+f
六,均值不等式法
(1)y= ;
x2+1
2x
例6 求下列函数的值域:
(2)y= (x>1) .
x-1
x2-2x+5
[-1, 1]
[4, +∞)
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要注意满足条件"一正,二定,三等".
[1- , 1+ ]
2 3
3
2 3
3
七,利用函数的单调性
八,数形结合法
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用基本不等式不能求得 y=x+ (k>0)的最值(等号不成立)时.
k
x
例7 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
(2)y=x+ (04
x
1
2
[- , +∞)
[5, +∞)
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离公式,直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域:
(1)y=|x-1|+|x+4| ;
sinx-3
(2)y= ;
2+cosx
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
(4) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围;
(5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.
[5, +∞)
1
2
[ , +∞)
(0, 3 ]
(3)y= x+3 - x .
[-2- , -2+ ]
2 3
3
2 3
3
[2 5 , +∞)
[- 2 , 2 ]
九,导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(2)y=x5-5x4+5x3+2, x∈[-1, 2].
(1)y=x+ , x∈[1, 4];
4
x
[4, 5]
[-9, 3]
1.求下列函数的值域:
值域课堂练习题
(1) y= ;
x-2
3x+1
(2) y=2x+4 1-x ;
(3) y=x+ 1-x2 ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞)
(2)(-∞, 4]
(4)[3, +∞)
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
(3)[-1, 2 ]
(5) y= ;
2-cosx
sinx
(6) y= ;
x2+x+1
2x2-x-2
(7) y= ( 0 恒成立.
∴△=64-4mn0.
mx2+8x+n
x2+1
令 y= ,
则 1≤y≤9.
mx2+8x+n
x2+1
问题转化为 x∈R 时, y= 的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n=1+9,
mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
第2个回答 2019-07-19
求
函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为r，值域为r；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为r，
当a>0时，值域为{
}；当a<0时，值域为{
}.
例1．求下列函数的值域
①
y=3x+2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函数
的值域是
{
y|
y
2}
③
④当x>0，∴
=
，
当x<0时，
=－
∴值域是
[2，+
).（此法也称为配方法）
函数
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
；
解：∵
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，
∴x=2时，ymin=-3
,无最大值；函数的值域是{y|y
-3
}.
②∵顶点横坐标2
[3,4]，
当x=3时，y=
-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,
x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数
,
⑴若定义域为r时，
①当a>0时，则当
时，其最小值
；
②当a<0时，则当
时，其最大值
.
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较
的大小决定函数的最大（小）值.
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内，只需比较
的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
+(y+5)x-6y-6=0
①
当
y11时
∵x?r
∴△=(y+5)
+4(y-1)×6(y+1)
0
由此得
(5y+1)
0
检验
时
（代入①求根）
∵2
?
定义域
{
x|
x12且
x13}
∴
再检验
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
综上所述，函数
的值域为
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函数化为函数
(x12)
∵
x=2时
即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数
的值域
解：设
则
t
0
x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：
，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+
].
如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.