存在反函数的条件为什么是一一对应

Question

如题所述

Answer 1

函数在某个区间内，存在反函数的充要条件是，从映射角度说），象（y） 与 原象（x） 一一对应。

函数的要求：每个自变量都有唯一的一个因变量与之对应，但是两个不同的自变量，可以对应相同的因变量。

数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 

严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

扩展资料：

函数f(x)存在反函数的条件非常简单:

若y=f(x)是X到Y的映射，对任意y∈Y，有唯一的x∈X，使y=f(x)成立。即映射原像具有唯一性。

【若函数y=f(x)是单调函数，则必定存在反函数】这是充分条件，不是必要条件。

可导函数f(x)的导数f'(x)≠0是函数f(x)存在反函数的充分条件，不是必要条件。

例如在(-∞,+∞)上定义的函数 f(x)=x(-1)^n,x∈[2n-1,2n+1)，在(-∞,+∞)上并不单调，但存在反函数。

参考资料来源：百度百科 ——反函数

Answer 2

函数的要求：每个自变量都有唯一的一个因变量与之对应，但是两个不同的自变量，可以对应相同的因变量。
将自变量认为是x，因变量认为是y的话，就是说每个x都对应唯一的一个y，不会对应两个或以上的y值，但是不同的x可以对应相同的y值。也就是说x到y的对应关系中，无论是1对1，还是多对1，都符合函数的要求，1对1的例子有y=x，多对1的例子有y=x2。
但是如果某个函数要有反函数，那么就要求从y算到x的对应关系也必须符合函数的要求，即每个y也只能有唯一的x与之对应。所以有反函数的函数，x和y之间就只能是一一对应才能满足x计算到y和y计算到x都符合函数要求。
例如y=x+1符合函数要求，反过来x=y-1也符合函数要求，所以y=x+1有反函数。
y=x2（x属于实数）符合函数要求，但是反过来x=正负根号y不符合函数要求，所以y=x（x属于实数）没有反函数。

y=x2不是一一对应的关系，因为x=1和x=-1都对应y=1这个结果，所以这个函数的x对应y的关系是多对一的关系。

Answer 3

函数存在的条件就是每个x只能有一个y。
假设当原函数y=2时，x=-1和x=1 不是一一对应
当反函数时，x和y调换，x=2时 有y=-1和y=1两个值
则不符合函数存在的条件，每个x只能有一个y，所以这个函数不存在

Answer 4

如果不是一一对应
其反函数就不存在
因为反函的定义域是原函数的值域
若不是一一对应，反函数没有唯一性
如y=x²，在R上是没反函数的
只有定义X∈[0，+∞)或X∈(-∞，0]
才存在反函数
y=√x
或
y=-√x