三角函数最快的计算方法

Question

我找到了一种计算公式，是用泰勒级数的：
sin x = (x^1 / 1!) - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - ……
但是它的收敛速度很慢，我想问一下除此之外还有没有别的计算公式？
还有谁知道微软的那个sin()是怎么计算的，好像精度很高的样子。
我是学游戏编程的，代码的执行速度对一个游戏来说是至关重要的，而三角函数在游戏中是无处不在的。如果有什么高效的算法，或是硬件指令将对性能有很大的提高。谁知道有什么汇编硬件指令？还有用法

我想不会，现在有不少CPU支持三角函数硬件指令了，如：FSIN，而C++支持内联汇编，计算三角函数将不会成为问题了。主流公司一定会有自己的一个游戏引擎，而且99%都是数学运算，这些运算并不想20世纪时那么简单了，里面充斥着高深的高等代数，微积分，向量……

Answer 1

我数学不行，我不知道有没有别的公式，但是我也曾经想过，我猜想现有的三角函数计算应该用的就是泰勒展开。也许你是学数学的吧，你可能觉得他收敛慢，但是对一般应用来说，精度不必太高，他的收敛也足够快了吧。而且阶乘不是应该比指数增长的快的多吗？所以我觉得他的收敛也挺快的啊

关键的一点，我是学计算机的，所以我可以肯定的告诉你：你不能如此低估我们现在计算机的CPU。你看那个公式，对于每一项，针对上一项，我们要算的只是把分子乘以x^2，分母也是乘以两个数，最后再做一次除法和加法，这种运算量是很小的。在1微秒内，这种运算都可以算很多很多次，足以达到你看到的精度。
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原来如此。那你应该很清楚，一个普通的计算器是不会做那么多性能的优化的，况且计算器虽然精度高，但游戏中应该没有必要算到小数点后很多位吧。
你说的都有道理，但是很抱歉，我不做游戏，也离硬件很远，所以帮不到你了。不过正好请教一下，游戏开发中，三角函数（包括开平方的那些运算）真的会成为性能瓶颈么？那当今主流的游戏公司是不是都会有一套自己的数学函数库？

Answer 2

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：
sin^2(α) cos^2(α)=1
tan^2(α) 1=sec^2(α)
cot^2(α) 1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα

·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1

直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：
cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ)

·辅助角公式：
Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)sin(α t)，其中
sint=B/(A^2 B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2 B^2)^(1/2)

·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1 cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1 cosα))=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1 cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))

·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：
sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2]