2008年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
考
生
须
知： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题．
2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（机读卷 共32分）
考
生
须
知： 1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题．
2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1． 的绝对值等于（ ）
A． B． C． D．
2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50
5．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为圆锥的顶点， 为圆锥底面上一点，点 在 上．一只蜗牛从 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
2008年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）
考 生
须 知： 1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．
2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．如图，在 中， 分别是 的中点，
若 ，则 cm．
12．一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ），其中第7个式子是 ，第 个式子是 （ 为正整数）．
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算： ．
解：
14．（本小题满分5分）
解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
15．（本小题满分5分）
已知：如图， 为 上一点，点 分别在 两侧． ， ， ．
求证： ．
证明：
16．（本小题满分5分）
如图，已知直线 经过点 ，求此直线与 轴， 轴的交点坐标．
解：
17．（本小题满分5分）
已知 ，求 的值．
解：
四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
如图，在梯形 中， ， ， ， ， ，求 的长．
解：
19．（本小题满分5分）
已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 分别交于点 ，且 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若 ， ，求 的长．
解：（1）
（2）
五、解答题（本题满分6分）
20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它
选该项的人数占
总人数的百分比 5% 35% 49% 11%
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．
解：（1）
（2）
六、解答题（共2道小题，共9分）
21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
解：
22．（本小题满分4分）
已知等边三角形纸片 的边长为 ， 为 边上的点，过点 作 交 于点 ． 于点 ，过点 作 于点 ，把三角形纸片 分别沿 按图1所示方式折叠，点 分别落在点 ， ， 处．若点 ， ， 在矩形 内或其边上，且互不重合，此时我们称 （即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形 的面积；
（2）实验探究：设 的长为 ，若重叠三角形 存在．试用含 的代数式表示重叠三角形 的面积，并写出 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠三角形 的面积为 ；
（2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 的取值范围为 ．
七、解答题（本题满分7分）
23．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为 ， （其中 ）．若 是关于 的函数，且 ，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 的取值范围满足什么条件时， ．
（1）证明：
（2）解：
（3）解：
八、解答题（本题满分7分）
24．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，将直线 沿 轴向上平移3个单位长度后恰好经过 两点．
（1）求直线 及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 ，点 在抛物线的对称轴上，且 ，求点 的坐标；
（3）连结 ，求 与 两角和的度数．
解：（1）
（2）
（3）
九、解答题（本题满分8分）
25．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 ．若 ，探究 与 的位置关系及 的值．
小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；
（2）将图1中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中 ，将菱形 绕点 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示）．
解：（1）线段 与 的位置关系是 ； ．
（2）
2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．
2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．
3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B B B D
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号 9 10 11 12
答案
4
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
解：
4分
． 5分
14．（本小题满分5分）
解：去括号，得 ． 1分
移项，得 ． 2分
合并，得 ． 3分
系数化为1，得 ． 4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
5分
15．（本小题满分5分）
证明： ，
． 2分
在 和 中，
． 4分
． 5分
16．（本小题满分5分）
解：由图象可知，点 在直线 上， 1分
．
解得 ． 2分
直线的解析式为 ． 3分
令 ，可得 ．
直线与 轴的交点坐标为 ． 4分
令 ，可得 ．
直线与 轴的交点坐标为 ． 5分
17．（本小题满分5分）
解：
2分
． 3分
当 时， ． 4分
原式 ． 5分
四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
解法一：如图1，分别过点 作 于点 ，
于点 ． 1分
．
又 ，
四边形 是矩形．
． 2分
， ， ，
．
．
，
4分
在 中， ，
． 5分
解法二：如图2，过点 作 ，分别交 于点 ． 1分
，
．
，
．
在 中， ， ， ，
2分
在 中， ， ， ，
．
． 4分
在 中， ，
． 5分
19． （本小题满分5分）
解：（1）直线 与 相切． 1分
证明：如图1，连结 ．
，
．
， ．
又 ，
．
．
直线 与 相切． 2分
（2）解法一：如图1，连结 ．
是 的直径， ．
，
． 3分
， ，
． 4分
， ． 5分
解法二：如图2，过点 作 于点 ． ．
，
． 3分
， ，
． 4分
，
． 5分
五、解答题（本题满分6分）
解：（1）补全图1见下图． 1分
（个）．
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． 3分
．
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． 4分
（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为 ． 5分
根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分
六、解答题（共2道小题，共9分）
21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时 千米． 1分
依题意，得 ． 3分
解得 ． 4分
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． 5分
22．解：（1）重叠三角形 的面积为 ． 1分
（2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 2分
的取值范围为 ． 4分
七、解答题（本题满分7分）
23．（1）证明： 是关于 的一元二次方程，
．
当 时， ，即 ．
方程有两个不相等的实数根． 2分
（2）解：由求根公式，得 ．
或 ． 3分
，
．
，
， ． 4分
．
即 为所求． 5分
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出
与 的图象．
6分
由图象可得，当 时， ． 7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1） 沿 轴向上平移3个单位长度后经过 轴上的点 ，
．
设直线 的解析式为 ．
在直线 上，
．
解得 ．
直线 的解析式为 ． 1分
抛物线 过点 ，
解得
抛物线的解析式为 ． 2分
（2）由 ．
可得 ．
， ， ， ．
可得 是等腰直角三角形．
， ．
如图1，设抛物线对称轴与 轴交于点 ，
．
过点 作 于点 ．
．
可得 ， ．
在 与 中， ， ，
．
， ．
解得 ．
点 在抛物线的对称轴上，
点 的坐标为 或 ． 5分
（3）解法一：如图2，作点 关于 轴的对称点 ，则 ．
连结 ，
可得 ， ．
由勾股定理可得 ， ．
又 ，
．
是等腰直角三角形， ，
．
．
．
即 与 两角和的度数为 ． 7分
解法二：如图3，连结 ．
同解法一可得 ， ．
在 中， ， ，
．
在 和 中，
， ， ．
．
．
．
，
．
即 与 两角和的度数为 ． 7分
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）线段 与 的位置关系是 ；
． 2分
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ．
是线段 的中点，
．
由题意可知 ．
．
，
．
， ．
四边形 是菱形，
， ．
由 ，且菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，
可得 ．
．
四边形 是菱形，
．
．
．
， ．
．
即 ．
， ，
， ．
． 6分
（3） ． 8分
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