n的二次方等于多少？

Question

如题所述

Answer 1

实际上就是统计1~9999中，除去2ⁿ,3ⁿ,4ⁿ,⋯,100ⁿ形式的正整数，还剩多少正整数。
显然，2的n次幂（n≥2）有：2²,2³,⋯,2^(⌊㏒₂10000⌋)
其中㏒₂10000=4㏒₂10=4(㏒₂2+㏒₂5)=4(1+㏒₂5)
2=㏒₂4<㏒₂5<㏒₂4√2=㏒₂4+㏒₂√2=2.5
即2<㏒₂5<2.5，则12<4(1+㏒₂5)<14，则⌊4(1+㏒₂5)⌋=13，即⌊㏒₂10000⌋=13

即2的n次幂（n≥2）有：12个

3的n次幂（n≥2）有：3²,3³,⋯,3^(⌊㏒₃10000⌋)
其中㏒₃10000=4㏒₃10
2=㏒₃9<㏒₃10<㏒₃9∛3=㏒₃9+㏒₃∛3=2+1/3=7/3
即8<4㏒₃10<28/3，则⌊4㏒₃10⌋=9，即⌊㏒₃10000⌋=9

即3的n次幂（n≥2）有：8个

4的n次幂（n≥2）有：4²,4³,⋯,4^(⌊㏒₄10000⌋)
其中㏒₄10000=4㏒₄10
3/2=㏒₄4³/²=㏒₄8<㏒₄10<㏒₄16=2
即6<4㏒₄10<8，则⌊4㏒₄10⌋=7，即⌊㏒₄10000⌋=7

即4的n次幂（n≥2）有：6个

5的n次幂（n≥2）有：5²,5³,⋯,5^(⌊㏒₅10000⌋)
其中㏒₅10000=4㏒₅10
㏒₅10≈1.43
即4㏒₅10≈5.6，则⌊4㏒₅10⌋=5，即⌊㏒₅10000⌋=5

即5的n次幂（n≥2）有：4个

类似地求出⌊4㏒₆10⌋=5，⌊4㏒₇10⌋=4，⌊4㏒₈10⌋=4，⌊4㏒₉10⌋=4，⌊4㏒₁₀10⌋=4
⌊4㏒₁₁10⌋=3, ⌊4㏒₁₂10⌋=3, ⌊4㏒₁₃10⌋=3, ⋯,⌊4㏒₂₁10⌋=3
⌊4㏒₂₂10⌋=2, ⌊4㏒₂₃10⌋=2, ⋯,⌊4㏒₁₀₀10⌋=2

从而所求数目=
⌊4㏒₂10⌋-1+⌊4㏒₃10⌋-1+⌊4㏒₄10⌋-1
+⌊4㏒₅10⌋-1+⌊4㏒₆10⌋-1
+⌊4㏒₇10⌋-1+⌊4㏒₈10⌋-1+⌊4㏒₉10⌋-1+⌊4㏒₁₀10⌋-1
+⌊4㏒₁₁10⌋-1+⌊4㏒₁₂10⌋-1+⋯+⌊4㏒₂₁10⌋-1
+⌊4㏒₂₂10⌋-1+⌊4㏒₂₃10⌋-1+⋯+⌊4㏒₁₀₀10⌋-1

=12+8+6
+4+4
+3+3+3+3
+2*11
+1*(100-21)

=26
+8
+12
+22
+79
=147

然后用10000-147=9853