初三数学综合题，求全过程

Question

如题所述

Answer 1

(1)解：
AD平行于BC
所以角ADB=角DBC,角DPQ=角BQP
又因为角PED=角QEB
所以三角形DPE与三角形BQE相似
得到PE/EQ=PD/BQ
又EF平行于BC，所以PE/EQ=DF/FC
所以DF/FC=PD/BQ=1/2
(2)解：
如果始终有BQ=2DP,则由上面（1）的解得到
DE/EB=DF/FC=1/2，是一个定值，即E,F点的位置没有变,
所以EF的长度不变
又因为EF平行于BC，所以三角形PEF相似于三角形PQG
,得到PF/FG=PE/PQ=EF/QG
因为PE/EQ=1/2,则有EQ=2PE推出EQ+PE=2PE+PE
得到PQ=3PE,即PE/PQ=1/3=EF/QG
因为EF不变，所以QG的长度是定长值
当P点移动时，EF不变，EF平行于AD，所以三角形PEF的高也不变
于时三角形PEF的面积不变，同理三角形PQG的高不变
而其底QG长度为定值，所以三角形PQG的面积也不变
从而有三角形PQG的而积减去三角形PEF的面积也不变
也就是四边形EFGQ的面积不变。
由于四边形的面积不随P点位置变化，所以设PD＝1，则计算出的面积也是EFGQ的面积
PD/BQ=1/2,所以DE/EB=1/2,EF平行于BC ，则有DE/DB=EF/BC
DE/EB=1/2推出BE=2DE,推出BE+DE=2DE+DE
所以DB=3DE,即DE/DB=1/3,所以EF/BC=1/3,所以EF=BC/3=13/3
由前PE/PQ=EF/QG=1/3,所以求出QG=13
求梯形EFGQ的高，三角形PQG的高就是AB，EF平行于BC，所以
三角形PEF与三角形PQG的高的比也是1/3，即平行四边形EFGQ的高为
（2/3）AB=12*2/3=8
所以有平行四边形EFGQ的积为（EF+QG)*8/2=208/3
（3）解：
设高AB为h，见上图
作PK垂直于BC于K，作DH垂直于BC于H点，由图知BH=AD=11
所以QK＝BH-x-2x
在三角形PQK中，有PQ^2=h^2+QK^2=h^2+(11-x-2x)^2    （2）
由图知HC=BC-BH=13-11=2
所以KG=x+2x+2
在三角形PGK中，有PG^2=h^2+KG^2=h^2+(2+x+2x)^2      （3）
当三角形PQG为等腰三角形时，有PQ=PG
所以有上面（2）（3）式相等，则有h^2+(11-x-2x)^2＝h^2+(2+x+2x)^2
即（11-3x)^2=(2+3x)^2
解得x=1.5