求高手推导抛物线焦点弦长公式

Question

求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）

Answer 1

哈，我恰好会推导！

抛物线的焦点为F(p/2，0)

设直线l的方程为y=(x-p/2)tana  (a≠90°)，代入y²=2px

得y²tana-2py-p²tana=0

设A，B的坐标为（x1,y1）（x2,y2）

y1+y2=2p/tana     y1+y2=-p²

过A作x轴的垂线交过B与x轴平行的直线于点C

AB=AC/sina=(y1-y2)/sina=1/sina √[(y1+y2)²-4y1y2]=1/sina √（4p²/tan²a+4p²）=2p/sin²a

当a=90°时，直线AB⊥Ox轴，这时sina=1，A、B的坐标分别为(p/2,p)(p/2,-p),AB=2p

AB=2p/sin²a也成立

Answer 2

解答：
（1）当直线的斜率不存在时，即a=90°
xA=xB=p/2
∴ yA=p,yB=-p
∴ |AB|=2p=2p/sin²90°
（2）当直线斜率存在时，k=tana
直线方程是y=k(x-p/2)
代入抛物线方程y²=2px
则k²(x-p/2)²=2px
∴ k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
利用韦达定理，则xA+xB=(k²p+2p)/k²
利用抛物线定义
|AB|=|AF|+|BF|=xA+p/2+xB+p/2=xA+xB+p
即 |AB|=(k²p+2p)/k²+p
=2p+2p/k²
=2p(1+1/k²)
=2p*(1+cos²a/sin²a)
=2p*(sin²a+cos²a)/sin²a
=2p/sin²a

综上，|AB|=2p/sin²a本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2
由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,
bf=x2+p/2
所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a
证毕

Answer 4

抛物线焦点弦长公式，视频让你快速明白，简单易懂