设D是抛物线弧ABC的弦AC的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．证明:抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3.
当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是：
抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．
用解析几何来分析，设抛物线方程是：y=ax^2 (1)
A，C的横坐标分别是x1，x2，
则AC的方程是：y=ax1x+ax2x-ax1·x2(2)
过C点的切线CF的方程是：y=2ax2x-ax2^2 (3)
延长DB交CF于E，不难证明，B是ED的中点．事实上，将D，B，E的横坐标 (x1+x2)/2 分别代入(2)、(1)、(3)式，可得三者的纵坐标，依次是：yD=a(x1^2+x2^2)/2，yB=a[(x1+x2)/2]^2，yE=ax1·x2
由此知B是D、E中点．
作AF//OY，交CF于F．延长CB交AF于K，则K是FA的中点．再取KH=KC，过AC上任意点M作MQ//OY，交CK于P，交CF于Q，交抛物线于N．将M的横坐标x0分别代入(2)、(1)、(3)，得M，N，Q的纵坐标：
yM=ax1·x0+ax2·x0-ax1·x2
yN=ax0^2
yQ=2ax2·x0-ax2^2
于是有：
上面推出的几个性质，有的前人已证明，有的阿基米德在别处已证明，在这里是作为已知条件来使用的．例如：1)过D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B，且B是ED中点，在欧几里得以及阿里斯泰奥斯(Aristaeus，约公元前340年)的圆锥曲线论中已证明，在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 1，2中也讨论过；2)MQ∶MN=AC∶AM是同一篇论文的命题5．
下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法：
假想各线段都是有重量的，而且重量和长度成正比．又HP是一根以K为支点的杠杆．因为MQ∶MN=HK∶KP，如果将MN放在H点，就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．这关系对于任意的M都成立．弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成，而△AFC由许多的MQ线段所组成．如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H上(以H为重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H点，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，这重心位于中线KC上，与K的距离是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面积是△ABC的4/3．
