大一 微积分同济版 课后习题 高等数学 【泰勒公式】利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限

Question

【请看图】
1.三阶的麦克劳林公式为什么不是以o（x³）结尾 ？？
2.最后把他们乘起来的时候就是直接乘么？有什么原则？需要省略什么吗？
拜托

Answer 1

sinx的3阶泰勒公式最后的高阶无穷小可以是O(x^3)，也可以是O(x^4)，一般是写成前一项的高阶无穷小，这里写O(x^3)更好。
分母是x的3阶无穷大，所以分子上展开到x^3即可，更高幂次的项可合并到O(x^3)中，多项式的乘法与与数的乘法没有区别，需要注意与O(x^3)有关的四则运算，比如O(x^3)±O(x^3)=O(x^3)，x^2*O(x^3)=O(x^5)也是O(x^3)，.......追问

ex 为什么不写成 （1/3!)x³+o（x³）结尾？

追答

因为sinx的展开式中没有常数项，所以e^x与sinx相乘时，e^x的展开式中的x^3实际上根本就用不上，写出来，最后乘上sinx后，也是合并在O(x^3)中。
不要看到解题过程写的很简洁，自己做题时，肯定要展开到x^3项，用不用得上再说，x^3应该出现。

Answer 2

有原则的如果分子只有一项那你就展开到和分母同阶的时候停下
如果分子是好几项相加减那你就分别把他们展开到何不为o的时候停下就可以了