矩阵的初等变换时行变换和列变换是不是不能互用？

Question

矩阵的初等变换时行变换和列变换是不是不能互用？
就是将一个矩阵进行初等变换时，如果是用行变换就一直用行变换直到变换完成为止。如果用列变换就一直用列变换…期间两者是不是不能交叉互用？为什么我每次互用的时候解出来的都于标准答案不一样，而不互用单一只有一种变换时解出的答案则于标准答案相同？如果可以用的话应该注意些什么？什么情况下用？谢谢
是解线性方程

Answer 1

你这样的问题是不能直接回答的。你首先要讲清楚你想用初等变换做什么。

如果是算矩阵的秩，那么可以随意使用行变换和列变换。
如果是解线性方程组，也是可以随意使用，但是列变换需要保留记录，因为还需要解出未知向量。
如果是合同变换或者相似变换，那么必须每一步同时使用相匹配的行变换和列变换。

补充：
对于线性方程组，行列变换都可以，行变换对应于消元，列变换对应于换元，和别的换元法一样，换元过程需要保留，这样才能求出最终的解。
具体一点，如果用双侧变换化相抵标准型PAQ=diag{I,0}，那么原来的方程组相当于PAQy=Pb,其中x=Qy，P直接作用在增广矩阵上，不需要保留，而Q需要保留，一般保留每一个列初等变换，这样回头用y解x的时候就没有任何困难，当然逐步累积Q也是可以的。
至于“不能用列变换”、“列变换无意义”之类的说法是大错特错，只能说列变换并不总是方便的。

Answer 2

在解线性方程时只用行变换，因为此时系数矩阵的每一列对应不同的变量，列变换等于交换变量位置，没有意义。增广矩阵最后一列对应方程右边系数，与其它列交换会破坏原方程。所以解线性方程时只用行变换。在其它应用中有时行变换与列变换可交叉，具体要看实际意义。