克莱数学研究所征解的七个数学问题 (CMI Seven Millennium Prize Problems)
二十一世纪到来之际，克莱数学研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)）参照一百多年前德国数学家大卫希尔伯特的做法，于2000年5月24日在法国召开的千禧年年会上，公开征解七个数学问题的解答。这七个问题是由克莱数学研究所的科学顾问委员会精心挑选的，克莱数学研究所的董事会为每一个问题的解决提供了一百万美元的奖金。这些问题是（按照问题题目的英文字母顺序排列）[7个问题的说明]
1. 波奇和斯温纳顿-戴雅猜想(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。
2. 霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
3. 纳威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：证明或否定3-维奈维尔－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。
4. P与NP问题(P VS NP Problem)：有确定性多项式时间算法的问题类P是否等于有非确定性多项式时间算法的问题类NP。
5. 庞加莱猜想(Poincare Conjecture)：任意闭单连通3-流型同胚于3-球。
6. 黎曼假设(Riemann Hypothesis)：黎曼Zeta－函数的非平凡零点的实部都是1/2。
7. 杨-米尔理论(Yang-Mills Theory)：证明量子Yang�Mills场存在并存在一个质量间隙。
庞加莱猜想
庞加莱(Poincare)猜想 : 庞加莱在1904年发表的一组论文中提出：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
粗浅的比喻为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
历史
庞加莱猜想由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出拓扑学难题。百年来无人能解。在庞加莱猜想提出後不久，就被推广到ｎ≧4维的情况，这称为广义庞加莱猜想。1961年，美国数学家S.Smale采用十分巧妙的方法绕过三、四给的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。1981年另一位美国数学家M.Freedman证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。但时至今日，庞加莱猜想却依然故我。 在2002年，一位俄罗斯的数学家裴瑞曼(Grigori Perelman)提出的论文证明了此一猜想。
到了2006年6月3日哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想
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