将函数f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数

Question

f（x）=5/2 +∑2((−1)^k−1)coskπx/k2π2， f(0) 怎么等于2=5/2 ∑ 2•(−2)/(2n)^2π^2 ， 怎么算的

Answer 1

为方便计， 将函数拓广为：f(x)=2+|x|, x属于[-pi,pi]。
将此f拓广为R 上的周期为2pi的周期函数。此函数连续，所以其傅立叶级数收敛于 f(x):

傅里叶级数
f(x)=a0/2 + a1cosx+b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ...+ancosnx+bnsinnx+...

因为 f(x)是偶函数， 所以 bn = 0
a0 = 1/pi 积分（-pi 到 pi）f（x)dx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)dx=4+pi
an =1/pi积分（-pi 到 pi）f（x)cosnxdx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)cosnx dx --- 通过分部积分
=0 如果 n 是偶数
= -4/(pi*n^2) 如果 n 是奇数

所以
f(x)= 2+pi/2 - 4/pi(cosx + cos3x / 3^2 + ...+ cos(2n+1)x /(2n+1)^2+...)

Answer 2

设则由上题，有 (n=1，2，…)，
f(x)满足收敛定理条件，f(x)在x=2kπ(k=0，±1，±2，…)处不连续．故有
x≠2kπ(k=0，±1，±2…)
在x=2kπ(k=0，±1．±2，…)处，傅里叶级数收敛于因此，令x=0，有
即得。

Answer 3

正常将f（x）展开成5/2-4/π²Σ1/（2k-1）²cos（2k-1）x 其中k从1到∞，将2k-1代换成n且n的范围与k相同。于是便将前式变成5/2-4/π²Σ1/n²cosnx，将x=0带入即得

Answer 4

详情如图所示

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Answer 5

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会答就答 不会就别答 最烦这种回答莫名其妙的