全国中考数学压轴题精选(九)
81.(08广东茂名25题)(本题满分10分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 =- + + 经过A(0,-4)、B( ,0)、 C( ,0)三点,且 - =5.
(1)求 、 的值;(4分)
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形;(3分)
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.(3分)
解:
(08广东茂名25题解析)解:(1)解法一:
∵抛物线 =- + + 经过点A(0,-4),
∴ =-4 ……1分
又由题意可知, 、 是方程- + + =0的两个根,
∴ + = , =- =6 2分
由已知得( - ) =25
又( - ) =( + ) -4 = -24
∴ -24=25
解得 =± 3分
当 = 时,抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴ =- . 4分
解法二:∵ 、 是方程- + +c=0的两个根,
即方程2 -3 +12=0的两个根.
∴ = , 2分
∴ - = =5,
解得 =± 3分
(以下与解法一相同.)
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上, 5分
又∵ =- - -4=- ( + ) + 6分
∴抛物线的顶点(- , )即为所求的点D. 7分
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),
根据菱形的性质,点P必是直线 =-3与
抛物线 =- - -4的交点, 8分
∴当 =-3时, =- ×(-3) - ×(-3)-4=4,
∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形. 9分
四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上. 10分
82.(08广东肇庆25题)(本小题满分10分)
已知点A(a, )、B(2a,y )、C(3a,y )都在抛物线 上.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)当a=1时,求△ABC的面积;
(3)是否存在含有 、y 、y ,且与a无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.
(08广东肇庆25题解析)(本小题满分10分)
解:(1)由5 =0, (1分)
得 , . (2分)
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、( ,0). (3分)
(2)当a=1时,得A(1,17)、B(2,44)、C(3,81), (4分)
分别过点A、B、C作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则有
=S - - (5分)
= - - (6分)
=5(个单位面积) (7分)
(3)如: . (8分)
事实上, =45a2+36a.
3( )=3[5×(2a)2+12×2a-(5a2+12a)] =45a2+36a. (9分)
∴ . (10分)
83.(08辽宁沈阳26题)(本题14分)26.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形 的边 在 轴的负半轴上,边 在 轴的正半轴上,且 , ,矩形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到矩形 .点 的对应点为点 ,点 的对应点为点 ,点 的对应点为点 ,抛物线 过点 .
(1)判断点 是否在 轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在 轴的上方是否存在点 ,点 ,使以点 为顶点的平行四边形的面积是矩形 面积的2倍,且点 在抛物线上,若存在,请求出点 ,点 的坐标;若不存在,请说明理由.
(08辽宁沈阳26题解析)解:(1)点 在 轴上 1分
理由如下:
连接 ,如图所示,在 中, , ,
,
由题意可知:
点 在 轴上, 点 在 轴上. 3分
(2)过点 作 轴于点
,
在 中, ,
点 在第一象限,
点 的坐标为 5分
由(1)知 ,点 在 轴的正半轴上
点 的坐标为
点 的坐标为 6分
抛物线 经过点 ,
由题意,将 , 代入 中得
解得
所求抛物线表达式为: 9分
(3)存在符合条件的点 ,点 . 10分
理由如下: 矩形 的面积
以 为顶点的平行四边形面积为 .
由题意可知 为此平行四边形一边,
又
边上的高为2 11分
依题意设点 的坐标为
点 在抛物线 上
解得, ,
,
以 为顶点的四边形是平行四边形,
, ,
当点 的坐标为 时,
点 的坐标分别为 , ;
当点 的坐标为 时,
点 的坐标分别为 , . 14分
84.(08辽宁12市26题)(本题14分)26.如图16,在平面直角坐标系中,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,抛物线 经过 三点.
(1)求过 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点 ,使 为直角三角形,若存在,直接写出 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线 上是否存在一点 ,使得 的周长最小,若存在,求出 点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08辽宁12市26题解析)
解:(1) 直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 .
, 1分
点 都在抛物线上,
抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
(2)存在 5分
7分
9分
(3)存在 10分
理由:
解法一:
延长 到点 ,使 ,连接 交直线 于点 ,则点 就是所求的点.
11分
过点 作 于点 .
点在抛物线 上,
在 中, ,
, ,
在 中, ,
, , 12分
设直线 的解析式为
解得
13分
解得
在直线 上存在点 ,使得 的周长最小,此时 . 14分
解法二:
过点 作 的垂线交 轴于点 ,则点 为点 关于直线 的对称点.连接 交 于点 ,则点 即为所求. 11分
过点 作 轴于点 ,则 , .
,
同方法一可求得 .
在 中, , ,可求得 ,
为线段 的垂直平分线,可证得 为等边三角形,
垂直平分 .
即点 为点 关于 的对称点. 12分
设直线 的解析式为 ,由题意得
解得
13分
解得
在直线 上存在点 ,使得 的周长最小,此时 . 14分
85.(08内蒙古赤峰25题)(本题满分14分)
在平面直角坐标系中给定以下五个点 .
(1)请从五点中任选三点,求一条以平行于 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;
(3)已知点 在抛物线的对称轴上,直线 过点 且垂直于对称轴.验证:以 为圆心, 为半径的圆与直线 相切.请你进一步验证,以抛物线上的点 为圆心 为半径的圆也与直线 相切.由此你能猜想到怎样的结论.
(08内蒙古赤峰25题解析)25.解:(1)设抛物线的解析式为 ,
且过点 ,
由 在 H .
则 . (2分)
得方程组 ,
解得 .
抛物线的解析式为 (4分)
(2)由 (6分)
得顶点坐标为 ,对称轴为 . (8分)
(3)①连结 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,
则 .
在 中, , ,
,
,
以 点为圆心, 为半径的 与直线 相切. (10分)
②连结 过点 作直线 的垂线,垂足为 .过点 作 垂足为 ,
则 .
在 中, , .
.
以 点为圆心 为半径的 与直线 相切. (12分)
③以抛物线上任意一点 为圆心,以 为半径的圆与直线 相切. (14分)
86.(08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的 与 轴交于 两点, 为 的切线,切点为 ,圆心 的坐标为 ,二次函数 的图象经过 两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求切线 的函数解析式;
(3)线段 上是否存在一点 ,使得以 为顶点的三角形与 相似.若存在,请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
(08青海西宁28题解析)解:(1) 圆心 的坐标为 , 半径为1, , ……1分
二次函数 的图象经过点 ,
可得方程组 2分
解得: 二次函数解析式为 3分
(2)过点 作 轴,垂足为 . 4分
是 的切线, 为切点, (圆的切线垂直于经过切点的半径).
在 中,
为锐角, 5分
,
在 中, .
.
点 坐标为 6分
设切线 的函数解析式为 ,由题意可知 , 7分
切线 的函数解析式为 8分
(3)存在. 9分
①过点 作 轴,与 交于点 .可得 (两角对应相等两三角形相似)
, 10分
②过点 作 ,垂足为 ,过 点作 ,垂足为 .
可得 (两角对应相等两三角开相似)
在 中, , ,
在 中, ,
, 11分
符合条件的 点坐标有 , 12分
87.(08青海省卷28题)王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间 (单位:分钟)与学习收益量 的关系如图甲所示,用于回顾反思的时间 (单位:分钟)与学习收益量 的关系如图乙所示(其中 是抛物线的一部分, 为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求王亮解题的学习收益量 与用于解题的时间 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
(2)求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式;
(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这30分钟的学习收益总量最大?
(学习收益总量 解题的学习收益量 回顾反思的学习收益量)
(08青海省卷28题解析)解:(1)设 ,
把 代入,得 .
. (1分)
自变量 的取值范围是: . (2分)
(2)当 时,
设 , (3分)
把 代入,得 , .
. (5分)
当 时,
(6分)
即 .
(3)设王亮用于回顾反思的时间为 分钟,学习效益总量为 ,
则他用于解题的时间为 分钟.
当 时,
. (7分)
当 时, . (8分)
当 时,
. (9分)
随 的增大而减小,
当 时, .
综合所述,当 时, ,此时 . (10分)
即王亮用于解题的时间为26分钟,用于回顾反思的时间为4分钟时,学习收益总量最大.
(11分)
88.(08山东济宁26题)(12分)
中, , , cm.长为1cm的线段 在 的边 上沿 方向以1cm/s的速度向点 运动(运动前点 与点 重合).过 分别作 的垂线交直角边于 两点,线段 运动的时间为 s.
(1)若 的面积为 ,写出 与 的函数关系式(写出自变量 的取值范围);
(2)线段 运动过程中,四边形 有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时 的值;若不可能,说明理由;
(3) 为何值时,以 为顶点的三角形与 相似?
(08山东济宁26题解析)解:(1)当点 在 上时, , .
. 2分
当点 在 上时, .
. 4分
(2) , . .
. 6分
由条件知,若四边形 为矩形,需 ,即 ,
.
当 s时,四边形 为矩形. 8分
(3)由(2)知,当 s时,四边形 为矩形,此时 ,
. 9分
除此之外,当 时, ,此时 .
, . . 10分
, .
又 , . 11分
, .
当 s或 s时,以 为顶点的三角形与 相似. 12分
89.(08四川巴中30题)(12分)30.已知:如图14,抛物线 与 轴交于点 ,点 ,与直线 相交于点 ,点 ,直线 与 轴交于点 .
(1)写出直线 的解析式.
(2)求 的面积.
(3)若点 在线段 上以每秒1个单位长度的速度从 向 运动(不与 重合),同时,点 在射线 上以每秒2个单位长度的速度从 向 运动.设运动时间为 秒,请写出 的面积 与 的函数关系式,并求出点 运动多少时间时, 的面积最大,最大面积是多少?
(08四川巴中30题解析)解:(1)在 中,令
,
, 1分
又 点 在 上
的解析式为 2分
(2)由 ,得 4分
,
, 5分
6分
(3)过点 作 于点
7分
8分
由直线 可得:
在 中, , ,则
, 9分
10分
11分
此抛物线开口向下, 当 时,
当点 运动2秒时, 的面积达到最大,最大为 . 12分
90.(08四川自贡26题)抛物线 的顶点为M,与 轴的交点为A、B(点B在点A的右侧),△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根。
(1)判断△ABM的形状,并说明理由。
(2)当顶点M的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形。
(3)若平行于 轴的直线与抛物线交于C、D两点,以CD为直径的圆恰好与 轴相切,求该圆的圆心坐标。
(08四川自贡26题解析)解:(1)令
得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以 、 为直角边的等腰直角三角形
(2)设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M(-2,-1)
∴ ,即AB=2
∴A(-3,0),B(-1,0)
将B(-1,0) 代入 中得
∴抛物线的解析式为 ,即
图略
(3)设平行于 轴的直线为
解方程组错误!不能通过编辑域代码创建对象。
得 , (
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与 轴相切
据题意得
∴
解得
∴圆心坐标为 和
91.(08新疆自治区24题)(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?
(08新疆自治区24题解析)24.(10分)解:(1)设抛物线的表达式为 1分
点 在抛物线的图象上.
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点,D点坐标为(k,t)
已知窗户高1.6m,∴ 5分
(舍去) 6分
∴ (m) 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
.
答:最多可安装4扇窗户. 10分
(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形)
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