全国中考数学压轴题精选(九)
81.（08广东茂名25题）（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =－ + + 经过A（0，－4）、B（ ，0）、 C（ ，0）三点，且 - =5．
（1）求 、 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一：
∵抛物线 =－ + + 经过点A（0，－4），
∴ =－4 ……1分
又由题意可知， 、 是方程－ + + =0的两个根，
∴ + = ， =－ =6 2分
由已知得（ - ） =25
又（ - ） =（ + ） －4 = －24
∴ －24=25
解得 =± 3分
当 = 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴ =－ ． 4分
解法二：∵ 、 是方程－ + +c=0的两个根，
即方程2 －3 +12=0的两个根．
∴ = ， 2分
∴ － = =5，
解得 =± 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵ =－ － －4=－ （ + ） + 6分
∴抛物线的顶点（－ ， ）即为所求的点D． 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线 =-3与
抛物线 =－ - -4的交点， 8分
∴当 =－3时， =－ ×（－3） － ×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分
82.（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A（a， ）、B（2a，y ）、C（3a，y ）都在抛物线 上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有 、y 、y ，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）
解：（1）由5 =0， （1分）
得 ， ． （2分）
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（ ，0）． （3分）
（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S - - （5分）
= - - （6分）
=5（个单位面积） （7分）
（3）如： ． （8分）
事实上， =45a2+36a．
3（ ）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． （9分）
∴ ． （10分）
83.（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴的负半轴上，边 在 轴的正半轴上，且 ， ，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到矩形 ．点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，抛物线 过点 ．
（1）判断点 是否在 轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在 轴的上方是否存在点 ，点 ，使以点 为顶点的平行四边形的面积是矩形 面积的2倍，且点 在抛物线上，若存在，请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点 在 轴上 1分
理由如下：
连接 ，如图所示，在 中， ， ，
，
由题意可知：
点 在 轴上， 点 在 轴上． 3分
（2）过点 作 轴于点
，
在 中， ，
点 在第一象限，
点 的坐标为 5分
由（1）知 ，点 在 轴的正半轴上
点 的坐标为
点 的坐标为 6分
抛物线 经过点 ，
由题意，将 ， 代入 中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点 ，点 ． 10分
理由如下： 矩形 的面积
以 为顶点的平行四边形面积为 ．
由题意可知 为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点 的坐标为
点 在抛物线 上
解得， ，
，
以 为顶点的四边形是平行四边形，
， ，
当点 的坐标为 时，
点 的坐标分别为 ， ；
当点 的坐标为 时，
点 的坐标分别为 ， ． 14分
84.（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 三点．
（1）求过 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线 上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08辽宁12市26题解析）
解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
， 1分
点 都在抛物线上，
抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
（2）存在 5分
7分
9分
（3）存在 10分
理由：
解法一：
延长 到点 ，使 ，连接 交直线 于点 ，则点 就是所求的点．
11分
过点 作 于点 ．
点在抛物线 上，
在 中， ，
， ，
在 中， ，
， ， 12分
设直线 的解析式为
解得
13分
解得
在直线 上存在点 ，使得 的周长最小，此时 ． 14分
解法二：
过点 作 的垂线交 轴于点 ，则点 为点 关于直线 的对称点．连接 交 于点 ，则点 即为所求． 11分
过点 作 轴于点 ，则 ， ．
，
同方法一可求得 ．
在 中， ， ，可求得 ，
为线段 的垂直平分线，可证得 为等边三角形，
垂直平分 ．
即点 为点 关于 的对称点． 12分
设直线 的解析式为 ，由题意得
解得
13分
解得
在直线 上存在点 ，使得 的周长最小，此时 ． 14分
85.（08内蒙古赤峰25题）（本题满分14分）
在平面直角坐标系中给定以下五个点 ．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
（3）已知点 在抛物线的对称轴上，直线 过点 且垂直于对称轴．验证：以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切．请你进一步验证，以抛物线上的点 为圆心 为半径的圆也与直线 相切．由此你能猜想到怎样的结论．
（08内蒙古赤峰25题解析）25．解：（1）设抛物线的解析式为 ，
且过点 ，
由 在 H ．
则 ． （2分）
得方程组 ，
解得 ．
抛物线的解析式为 （4分）
（2）由 （6分）
得顶点坐标为 ，对称轴为 ． （8分）
（3）①连结 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 ．
在 中， ， ，
，
，
以 点为圆心， 为半径的 与直线 相切． （10分）
②连结 过点 作直线 的垂线，垂足为 ．过点 作 垂足为 ，
则 ．
在 中， ， ．
．
以 点为圆心 为半径的 与直线 相切． （12分）
③以抛物线上任意一点 为圆心，以 为半径的圆与直线 相切． （14分）
86.（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的 与 轴交于 两点， 为 的切线，切点为 ，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过 两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线 的函数解析式；
（3）线段 上是否存在一点 ，使得以 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08青海西宁28题解析）解：（1） 圆心 的坐标为 ， 半径为1， ， ……1分
二次函数 的图象经过点 ，
可得方程组 2分
解得： 二次函数解析式为 3分
（2）过点 作 轴，垂足为 ． 4分
是 的切线， 为切点， （圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在 中，
为锐角， 5分
，
在 中， ．
．
点 坐标为 6分
设切线 的函数解析式为 ，由题意可知 ， 7分
切线 的函数解析式为 8分
（3）存在． 9分
①过点 作 轴，与 交于点 ．可得 （两角对应相等两三角形相似）
， 10分
②过点 作 ，垂足为 ，过 点作 ，垂足为 ．
可得 （两角对应相等两三角开相似）
在 中， ， ，
在 中， ，
， 11分
符合条件的 点坐标有 ， 12分
87.（08青海省卷28题）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间 （单位：分钟）与学习收益量 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间 （单位：分钟）与学习收益量 的关系如图乙所示（其中 是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量 与用于解题的时间 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式；
（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量 解题的学习收益量 回顾反思的学习收益量）
（08青海省卷28题解析）解：（1）设 ，
把 代入，得 ．
． （1分）
自变量 的取值范围是： ． （2分）
（2）当 时，
设 ， （3分）
把 代入，得 ， ．
． （5分）
当 时，
（6分）
即 ．
（3）设王亮用于回顾反思的时间为 分钟，学习效益总量为 ，
则他用于解题的时间为 分钟．
当 时，
． （7分）
当 时， ． （8分）
当 时，
． （9分）
随 的增大而减小，
当 时， ．
综合所述，当 时， ，此时 ． （10分）
即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
（11分）
88.（08山东济宁26题）（12分）
中， ， ， cm．长为1cm的线段 在 的边 上沿 方向以1cm/s的速度向点 运动（运动前点 与点 重合）．过 分别作 的垂线交直角边于 两点，线段 运动的时间为 s．
（1）若 的面积为 ，写出 与 的函数关系式（写出自变量 的取值范围）；
（2）线段 运动过程中，四边形 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时 的值；若不可能，说明理由；
（3） 为何值时，以 为顶点的三角形与 相似？
（08山东济宁26题解析）解：（1）当点 在 上时， ， ．
． 2分
当点 在 上时， ．
． 4分
（2） ， ． ．
． 6分
由条件知，若四边形 为矩形，需 ，即 ，
．
当 s时，四边形 为矩形． 8分
（3）由（2）知，当 s时，四边形 为矩形，此时 ，
． 9分
除此之外，当 时， ，此时 ．
， ． ． 10分
， ．
又 ， ． 11分
， ．
当 s或 s时，以 为顶点的三角形与 相似． 12分
89.（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与直线 相交于点 ，点 ，直线 与 轴交于点 ．
（1）写出直线 的解析式．
（2）求 的面积．
（3）若点 在线段 上以每秒1个单位长度的速度从 向 运动（不与 重合），同时，点 在射线 上以每秒2个单位长度的速度从 向 运动．设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最大，最大面积是多少？
（08四川巴中30题解析）解：（1）在 中，令
，
， 1分
又 点 在 上
的解析式为 2分
（2）由 ，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点 作 于点
7分
8分
由直线 可得：
在 中， ， ，则
， 9分
10分
11分
此抛物线开口向下， 当 时，
当点 运动2秒时， 的面积达到最大，最大为 ． 12分
90.（08四川自贡26题）抛物线 的顶点为M，与 轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由。
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于 轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与 轴相切，求该圆的圆心坐标。
（08四川自贡26题解析）解：（1）令
得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以 、 为直角边的等腰直角三角形
（2）设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M(－2，－1)
∴ ，即AB＝2
∴A(－3，0)，B(－1，0)
将B(－1，0) 代入 中得
∴抛物线的解析式为 ，即
图略
（3）设平行于 轴的直线为
解方程组错误！不能通过编辑域代码创建对象。
得 ， （
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与 轴相切
据题意得
∴
解得
∴圆心坐标为 和
91.（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
（08新疆自治区24题解析）24．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为 1分
点 在抛物线的图象上．
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）
已知窗户高1.6m，∴ 5分
（舍去） 6分
∴ （m） 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
．
答：最多可安装4扇窗户． 10分
（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）
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