1、如图,P为双曲线 (a、b为正常数)上任一点,过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点.若 .
(1)求证:A、B两点的横坐标之积为常数;
(2)求△AOB的面积(其中O为原点).
2、如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且 ,|BC|=2|AC|.
(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;
(2)过点D(0,2)的直线l与椭圆相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设 ,求实数 的取值范围.
3、已知双曲线C的方程为 =1(a>0,b>0),过右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线 ,设垂足为P,且与双曲线C的左、右支的交点分别为A、B。
(1)求证:点P在双曲线C的右准线上;
(2)求双曲线C的离心率的取值范围;
(3)设 =-1, =-6,求双曲线C和直线 的方程。
4、经过抛物线y 的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
(1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程;
(2) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为 ,试确定m的取值范
5、已知
(1)求点 的轨迹C的方程;
(2)若直线 与曲线C交于A、B两点,并且A、B在y轴的同一侧,求实
数k的取值范围.
(3)设曲线C与x轴的交点为M,若直线 与曲线C交于A、B两点,是否
存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过点M?若有,求出k的值;若没有,写
出理由.
6、 已知点H(0,―3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足 , 。
(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹曲线C的方程;
(2)过定点A(a,b)的直线与曲线C相交于两点S、R,求证:抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。
答案:题1、(1)设A( , )、B( , )、P( , ).因为 ,所以 , .又 , .所以 .从而 .又因为P点在双曲线上.所以 ,
为常数. (2)又∠ ,则 ,
2、(1)解:以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,设A(2,0),
则椭圆方程为 2分
∵O为椭圆中心,∴由对称性知|OC|=|OB| 又∵ ,∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为(1,1) ∴点B的坐标为(-1,-1) 将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得 则求得椭圆方程为
(2)解: 设M(x1,y1),N(x2,y2),则:
∵M、N在椭圆上,∴
∴
即 10分
∴ ,∴
解得:
∴实数 的取值范围是[ ,+∞).
3、(1)P 在右准线上(2)e> (3)由 =-1得b2=6. 由 =-1得x1x2+y1y2=-1由根与系数的关系可求得a2=2,c=2 ∴双曲线方程 直线 的方程y=- .
4、(1)设A( 直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入 ,得
k x -(2k +4)x+k =0
设M(x ,y).则
∴点M的坐标为(
消去k可得M的轨迹方程为
(2)由 d= 得
即 0< < ,得0< ,即 或
故的取值范围为 (-
5、解(1)由 …………1分
又 ………2分
,故所求的轨迹方程是 ……4分
(2)设 、 ,把 ,得
……6分
∵A、B在y轴的同一侧, ,得到 …………7分
综上,得 .…………8分
(3)由(2)得 …………① …………②
……③………………9分
∵曲线C与x轴交点 、 ,若存在实数k,符合题意,则
不妨取点 ……11分
将①②③式代入上式,整理得到 ,解得 舍去)……13分
根据曲线的对称性,知存在实数 ,使得以AB为直径的圆恰好过M点…14分
6、(1)解:设P(a,0),Q(0,b)则: ∴ 设M(x,y)∵ ∴
∴ (2)解法一:设A(a,b), , (x1≠x2)
则:直线SR的方程为: ,即4y = (x1+x2)x-x1x2
∵A点在SR上,∴4b=(x1+x2)a-x1x2 ① 对 求导得:y′= x
∴抛物线上S、R处的切线方程为:
即4 ②
即4 ③
联立②③,并解之得 ,代入①得:ax-2y-2b=0
故:B点在直线ax-2y-2b=0上
解法二:设A(a,b)
当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点,与题意不符,可设直线SR的方程为y-b=k(x-a)
与 联立消去y得:x2-4kx+4ak-4b=0 设 , (x1≠x2)
则由韦达定理: 又过S、R点的切线方程分别为:
, 联立,并解之得 (k为参数)消去k,得:ax-2y-2b=0
故:B点在直线2ax-y-b=0上
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