1、如图，P为双曲线 （a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若 ．
（1）求证：A、B两点的横坐标之积为常数；
（2）求△AOB的面积（其中O为原点）．
2、如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且 ，|BC|＝2|AC|．
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)过点D(0，2)的直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 ，求实数 的取值范围．
3、已知双曲线C的方程为 =1（a>0,b>0）,过右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线 ，设垂足为P，且与双曲线C的左、右支的交点分别为A、B。
（1）求证：点P在双曲线C的右准线上；
（2）求双曲线C的离心率的取值范围；
（3）设 =-1， =-6，求双曲线C和直线 的方程。
4、经过抛物线y 的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
（2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为 ，试确定m的取值范
5、已知
（1）求点 的轨迹C的方程；
（2）若直线 与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实
数k的取值范围.
（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线 与曲线C交于A、B两点，是否
存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写
出理由.
6、 已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ， 。
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。
答案：题1、（1）设A（ ， ）、B（ ， ）、P（ ， ）．因为 ，所以 ， ．又 ， ．所以 ．从而 ．又因为P点在双曲线上．所以 ，
为常数． （2）又∠ ，则 ，
2、(1)解：以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，设A(2，0)，
则椭圆方程为 2分
∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵ ，∴AC⊥BC
又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为(1，1) ∴点B的坐标为(－1，－1) 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 则求得椭圆方程为
(2)解： 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则：
∵M、N在椭圆上，∴
∴
即 10分
∴ ，∴
解得：
∴实数 的取值范围是[ ，＋∞)．
3、（1）P 在右准线上（2）e> （3）由 =-1得b2=6. 由 =-1得x1x2+y1y2=-1由根与系数的关系可求得a2=2,c=2 ∴双曲线方程 直线 的方程y=- .
4、(1)设A( 直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入 ,得
k x -(2k +4)x+k =0
设M(x ,y).则
∴点M的坐标为(
消去k可得M的轨迹方程为
(2)由 d= 得
即 0＜ ＜ ,得0＜ ,即 或
故的取值范围为 (-
5、解（1）由 …………1分
又 ………2分
，故所求的轨迹方程是 ……4分
（2）设 、 ，把 ，得
……6分
∵A、B在y轴的同一侧， ，得到 …………7分
综上，得 .…………8分
（3）由（2）得 …………① …………②
……③………………9分
∵曲线C与x轴交点 、 ，若存在实数k，符合题意，则
不妨取点 ……11分
将①②③式代入上式,整理得到 ,解得 舍去）……13分
根据曲线的对称性，知存在实数 ，使得以AB为直径的圆恰好过M点…14分
6、（1）解：设P（a,0），Q（0，b）则： ∴ 设M（x,y）∵ ∴
∴ （2）解法一：设A(a,b)， ， （x1≠x2）
则：直线SR的方程为： ，即4y = (x1+x2)x－x1x2
∵A点在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2 ① 对 求导得：y′= x
∴抛物线上S、R处的切线方程为：
即4 ②
即4 ③
联立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0
故：B点在直线ax－2y－2b=0上
解法二：设A(a,b)
当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)
与 联立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0 设 ， （x1≠x2）
则由韦达定理： 又过S、R点的切线方程分别为：
， 联立，并解之得 （k为参数）消去k，得：ax－2y－2b=0
故：B点在直线2ax－y－b=0上
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