高中数学函数导数题目，解答越详细加悬赏

Question

第一问可以不解释，主要讲解一下第二问，要有详细解析，对于既有存在性问题又有恒成立问题的题目我一直无法下手，望得到高手的指教，感激之情溢于言表

Answer 1

（1）解析：∵f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x，
f'(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
①∵函数y=f(x)依次在x=a,b,c(a<b<c)处取到极值，
∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3，
则g'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)==>x1=-1，x2=3
g'’(x)=6x-6==>g”(x1)=-12<0，g”(x2)=12>0，
∴g(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值，
要使g(x)有三个零点
须使g(-1)=t+8＞0，g(3)=t-24＜0
∴-8＜t＜24

②∵a，b，c是f(x)的三个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc
∴a+b+c=3：ab+ac+bc=-9：t+3=-abc：
三式联立解得
∴b=1或-3/2(舍∵b∈(-1,3))
∴a=1-2√3，b=1，c=1+2√3，
∴t=8

(2)解析：由题意，不等式f(x)≤x==>(x3-6x2+3x+t)ex≤x==>t≤xe-x-x3+6x2-3x
转化为存在实数t∈[0,2]，使对任意的x∈[1,m]，不等式xe-x-x3+6x2-3x>=t恒成立，
即不等式xe-x-x3+6x2-3x>=2在x∈[1,m]上恒成立．
∵x≠0
∴e-x-x2+6x-5>=0在x∈[1,m]上恒成立．
设h(x)=e-x-x2+6x-5，
h'(x)=-e-x-2x+6
设r(x)=h'(x)=-e-x-2x+6，则r'(x)=e-x-2，
∵x∈[1,m]，∴r'(x)＜0，r(x)在区间[1,m]上单调减，
∵r(1)=4-e-1＞0，r(2)=2-e-2＞0，r(3)=e-3＜0
∴存在x0∈(2,3)，使得r(x0)=h′(x0)=0
即在区间[1,x0)上，h’(x)>0，当x＞x0时有h′(x0)＜0
就是说，函数y=h(x) 在区间[1,x0]上递增，在区间[x0,+∞）上递减
∵h(1)=e-1+0＞0，h(2)=e-2+3＞0，h(5)=e-5+0>0，h(6)=e-6-5＜0
∴当1≤x≤5时，恒有h(x)＞=0；当x>5时，h(x)＜0
∴使命题成立的正整数m的最大值为5

Answer 2

先令F(x)=f(x)-x,此时我们只需要考虑F(x)的最大值小于0就可以，再来看已知条件，t的范围为[0,2],先把t看做是变量，其他看做是常量，那么t的系数就是exp（x），t的系数是递增的，故t=2时，确定一个变量的取值，然后再来讨论x，对于变量x就是求导看单调区间的问题。你试试。
对于这种问题，要先确定一个变量后，又来以另一个变量的取值范围来求恒成立问题，当然有些题还可以考虑更极端方法，以后你遇到自己多总结。追问

恭喜你，答错了！！！
答案上说t的值应取0，然后再讨论x！！！

再好好想想吧！

追答

你确定答案的式子是写得F(X)=f（x）-x；不是x-f（x）？？