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第1个回答 2010-05-21
求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）
（3）
（4）
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……
∴通项公式为：
（2） （3） （4） .
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b•qn－1=4•(－2)n－1
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、 叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知
∵
……
各式相加得 ∴
一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。
四、叠乘法
例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)• =n• ，求 的表达式。
解：由(n+1)• =n• 得 ，
= • • … = 所以
一般地，对于型如 = (n)• 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。
五、公式法
若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式
求解。
例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。
（1） 。 （2）
解： （1）
= = =3
此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。
（2） ，当 时
由于 不适合于此等式 。 ∴
注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系
求证：数列 是等比数列。
解析：因为
所以
所以，数列 是等比数列。
六、阶差法
例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是
，其中b是与n无关的常数，且 。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式： 得：
利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即
其和为 。
七、待定系数法
例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。
八、 辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
例9.在数列 中， ， ， ，求 。
解析：在 两边减去 ，得
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），
证明：对任意n≥1，
证明：设，
用 代入可得
∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，
∴ （ ），
即：
型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.
(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。
解：∵ ∴
令
则辅助数列 是公比为2的等比数列
∴ 即 ∴
例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。
解：∵
∴ ， 设 ，则
故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列
∴ ∴
例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．
（1）求 的通项公式；
解：（1）由
整理得 ．
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得
注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成
则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。
解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
(3) f(n)为等差数列
例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2
因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。
注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。
(4) f(n)为非等差数列，非等比数列
例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
解：由 ， ，
可得 ，
所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．
这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
九、归纳、猜想
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…
（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。
（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴
（2） ，
= ，
= ，
猜想 ，下面用数学归纳法证明
当n=1时， 显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时， =
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。
例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。
分析：因为 ，所以得： ，
猜想： 。
十、倒数法
数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出
例19．设数列 满足 求
解：原条件变形为 两边同乘以 得 .
∵
∴
综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.本回答被提问者采纳
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）
（3）
（4）
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……
∴通项公式为：
（2） （3） （4） .
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b•qn－1=4•(－2)n－1
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、 叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知
∵
……
各式相加得 ∴
一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。
四、叠乘法
例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)• =n• ，求 的表达式。
解：由(n+1)• =n• 得 ，
= • • … = 所以
一般地，对于型如 = (n)• 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。
五、公式法
若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式
求解。
例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。
（1） 。 （2）
解： （1）
= = =3
此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。
（2） ，当 时
由于 不适合于此等式 。 ∴
注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系
求证：数列 是等比数列。
解析：因为
所以
所以，数列 是等比数列。
六、阶差法
例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是
，其中b是与n无关的常数，且 。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式： 得：
利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即
其和为 。
七、待定系数法
例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。
八、 辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
例9.在数列 中， ， ， ，求 。
解析：在 两边减去 ，得
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），
证明：对任意n≥1，
证明：设，
用 代入可得
∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，
∴ （ ），
即：
型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.
(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。
解：∵ ∴
令
则辅助数列 是公比为2的等比数列
∴ 即 ∴
例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。
解：∵
∴ ， 设 ，则
故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列
∴ ∴
例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．
（1）求 的通项公式；
解：（1）由
整理得 ．
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得
注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成
则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。
解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
(3) f(n)为等差数列
例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2
因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。
注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。
(4) f(n)为非等差数列，非等比数列
例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
解：由 ， ，
可得 ，
所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．
这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
九、归纳、猜想
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…
（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。
（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴
（2） ，
= ，
= ，
猜想 ，下面用数学归纳法证明
当n=1时， 显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时， =
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。
例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。
分析：因为 ，所以得： ，
猜想： 。
十、倒数法
数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出
例19．设数列 满足 求
解：原条件变形为 两边同乘以 得 .
∵
∴
综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.本回答被提问者采纳