数学排列组合问题

Question

如题所述

Answer 1

8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个。问有多少种不同的放法？
【解析】球入盒问题可以分为两步：首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个。由于球和盒子都相同，分堆后的排列只有一种情况。因此，关键在于如何将球分成三堆。可以通过枚举所有可能的分堆方式来解决。例如：1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3等，共有五种分堆方法。因此，8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，共有五种不同的放法。
结论：n个相同的球放入m个相同的盒子（n≥m）不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数。
8个相同的球放入3个相同的盒子中。问有多少种不同的放法？
【解析】与上题不同的是，这里的三个盒子可以有空盒。除了分成上面的五堆外，还可以分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，共有十种不同的放法。
结论：n个相同的球放入m个相同的盒子（n≥m）可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个数的和的所有种数之和。
8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个。问有多少种不同的放法？（隔板法）
【解析】这是将相同的球放入不同盒子的问题。与前面不同的是，盒子不同，不能用前面的解法。将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C(7,2)=21种。这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内。因此，将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法。
结论：n个相同的球放入m个不同的盒子中（n≥m）不能有空盒的放法数。
8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中。问有多少种不同的放法？
【解析】与上一题不同的是，这里可以有盒子没有放一个球。还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零。首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C(9,1)种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C(10,1)种，但这两种放法中有重复的，要除以2。最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中。因此，一共有1/2C(9,1)C(10,1)=45种。
结论：n个相同的球放入m个不同的盒子中（n≥m）可以有空盒的放法数。