怎么用导数定义证明常函数在x=0处存在导数，且为0？

Question

如果用定义证明的话，其中f(x)=常数c ,x∈R 则lim x→0 f(x)-f(0)/x， 这个极限求得出吗？分子是0 分母也是0,0除0的形式。可见导数不存在啊！！可是明眼就看得出常函数的导数任何时候都是0。

Answer 1

f'（0）=lim（Δx→0）[f（0十Δx）-f（0）]/Δx
= lim（Δx→0）[C-C]/Δx
= lim（Δx→0）0/Δx
= lim（Δx→0）0
=0
Δx→0与 Δx=0
含义不同，前者是一个过程，终点是0,途中不是0,后者是确定的值0.追答

你的证明（可能是教材中的），用x代替Δx，不严密，必须把它理解为Δx，才正确。

追问

理解为0乘以一个无穷大，lim（Δx→0） 0乘1/Δx、能认为它等于0？

追答

一个确定的0,不是无穷小，乘以任何数，积是0.无穷小，是向0无限靠近的变量，其值并不是确定的0,只是绝对值任意小的数。

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Answer 2

c-c＝0，比x趋于0的速度快，故分子是分母的高阶无穷小量，该极限为0

Answer 3

分母是x, 不是0. 先去把函数极限的定义好好复习一下.追问

分子为0，分母趋于0，这种式子的极限等于0？

追答

分子为0, 分母趋于0(但不等于0), 整个分数的值就是0, 极限当然还是0